Esercizio equazione goniometrica con la cotangente

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#9648
avt
luciaaa
Cerchio
Potreste spiegarmi come risolvere un'equazione goniometrica con la cotangente? Il libro suggerisce di procedere per sostituzione, però poi? Il valore che ottengo non è notevole: devo usare l'arcocotangente?

Risolvere per sostituzione l'equazione goniometrica

cot(2x+3π) = 6

Grazie.
#9659
avt
Ifrit
Amministratore
Per ricavare le soluzioni dell'equazione goniometrica

cot(2x+3π) = 6

bisogna innanzitutto garantire che essa sia ben posta, imponendo le condizioni di esistenza per la cotangente.

Ricordiamo che la cotangente di un angolo è ben definita se e solo se l'angolo è diverso da hπ, dove h è un numero intero, in altri termini deve sussistere la relazione:

C.E. : 2x+3π ne hπ → x ne-(3)/(2)π+(hπ)/(2)

Note le condizioni che definiscono l'insieme di esistenza delle soluzioni, torniamo a occuparci dell'equazione

cot(2x+3π) = 6

su cui possiamo operare la sostituzione t = 2x+3π, grazie alla quale diventa:

cot(t) = 6

Essa è chiaramente un'equazione elementare, c'è solo un piccolo problema: 6 non è un valore notevole della cotangente, per cui dobbiamo rivolgerci all'arcocotangente per poter esplicitare le soluzioni.

cot(t) = 6 → t = arccot(6)+kπ

dove il termine kπ si manifesta a causa della periodicità della cotangente.

A questo punto, non ci resta che ritornare nell'incognita x avvalendoci della sostituzione

t = 2x+3π

mediante la quale, la relazione

t = arccot(6)+kπ

si tramuta nella seguente equazione di primo grado

2x+3π = arccot(6)+kπ

da cui, isolando l'incognita al primo membro, ricaviamo la famiglia di soluzioni:

x = -(3π)/(2)+(arccot(6))/(2)+(kπ)/(2)

con k che varia nell'insieme dei numeri interi.

Ecco fatto!
Ringraziano: Omega, Pi Greco, Ifrit, luciaaa
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