Esercizio equazione goniometrica con la cotangente

Potreste spiegarmi come risolvere un'equazione goniometrica con la cotangente? Il libro suggerisce di procedere per sostituzione, però poi? Il valore che ottengo non è notevole: devo usare l'arcocotangente?

Risolvere per sostituzione l'equazione goniometrica



Grazie.

Per ricavare le soluzioni dell'equazione goniometrica



bisogna innanzitutto garantire che essa sia ben posta, imponendo le condizioni di esistenza per la cotangente.

Ricordiamo che la cotangente di un angolo è ben definita se e solo se l'angolo è diverso da , dove è un numero intero, in altri termini deve sussistere la relazione:



Note le condizioni che definiscono l'insieme di esistenza delle soluzioni, torniamo a occuparci dell'equazione



su cui possiamo operare la sostituzione , grazie alla quale diventa:



Essa è chiaramente un'equazione elementare, c'è solo un piccolo problema: non è un valore notevole della cotangente, per cui dobbiamo rivolgerci all'arcocotangente per poter esplicitare le soluzioni.



dove il termine si manifesta a causa della periodicità della cotangente.

A questo punto, non ci resta che ritornare nell'incognita avvalendoci della sostituzione



mediante la quale, la relazione



si tramuta nella seguente equazione di primo grado



da cui, isolando l'incognita al primo membro, ricaviamo la famiglia di soluzioni:



con che varia nell'insieme dei numeri interi.

Ecco fatto!