Esercizio equazione goniometrica con la cotangente

Prima di postare leggi le regole del Forum. Puoi anche leggere le ultime discussioni.

Esercizio equazione goniometrica con la cotangente #9648

avt
luciaaa
Cerchio
Potreste spiegarmi come risolvere un'equazione goniometrica con la cotangente? Il libro suggerisce di procedere per sostituzione, però poi? Il valore che ottengo non è notevole: devo usare l'arcocotangente?

Risolvere per sostituzione l'equazione goniometrica

\cot\left(2x+3\pi\right)=6

Grazie.
 
 

Esercizio equazione goniometrica con la cotangente #9659

avt
Ifrit
Amministratore
Per ricavare le soluzioni dell'equazione goniometrica

\cot\left(2x+3\pi\right)=6

bisogna innanzitutto garantire che essa sia ben posta, imponendo le condizioni di esistenza per la cotangente.

Ricordiamo che la cotangente di un angolo è ben definita se e solo se l'angolo è diverso da h\pi, dove h è un numero intero, in altri termini deve sussistere la relazione:

C.E. \  : \ 2x+3\pi \ne h\pi \ \ \ \to \ \ \ x\ne-\frac{3}{2}\pi+\frac{h\pi}{2}

Note le condizioni che definiscono l'insieme di esistenza delle soluzioni, torniamo a occuparci dell'equazione

\cot\left(2x+3\pi\right)=6

su cui possiamo operare la sostituzione t=2x+3\pi, grazie alla quale diventa:

\cot(t)=6

Essa è chiaramente un'equazione elementare, c'è solo un piccolo problema: 6 non è un valore notevole della cotangente, per cui dobbiamo rivolgerci all'arcocotangente per poter esplicitare le soluzioni.

\cot(t)=6\ \ \ \ \to \ \ \ t=\mbox{arccot}(6)+k\pi

dove il termine k\pi si manifesta a causa della periodicità della cotangente.

A questo punto, non ci resta che ritornare nell'incognita x avvalendoci della sostituzione

t=2x+3\pi

mediante la quale, la relazione

t=\mbox{arccot}(6)+k\pi

si tramuta nella seguente equazione di primo grado

2x+3\pi=\mbox{arccot}(6)+k\pi

da cui, isolando l'incognita al primo membro, ricaviamo la famiglia di soluzioni:

x=-\frac{3\pi}{2}+\frac{\mbox{arccot}(6)}{2}+\frac{k\pi}{2}

con k che varia nell'insieme dei numeri interi.

Ecco fatto!
Ringraziano: Omega, Pi Greco, Ifrit, luciaaa
  • Pagina:
  • 1
Os