Sistema lineare 3x3 con sostituzione, confronto, riduzione e Cramer

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Sistema lineare 3x3 con sostituzione, confronto, riduzione e Cramer #96197

avt
Miguel360
Cerchio
Avrei bisogno del vostro aiuto per determinare le eventuali soluzioni di un sistema lineare di tre equazioni e in tre incognite. Il testo richiede che si utilizzino i quattro metodi risolutivi: metodo di sostituzione, metodo del confronto, metodo di riduzione e infine metodo di Cramer.

Dato il sistema lineare di tre equazioni in tre incognite

\begin{cases}x-\dfrac{1}{2}y-z=2\\ \\ \dfrac{1}{3}(x+y)+x=-\dfrac{2}{3}\\ \\ x+\dfrac{1}{2}z=-\dfrac{1}{2}\end{cases}

Determinare le eventuali soluzioni usando il metodo di sostituzione, il metodo del confronto, il metodo di riduzione e il metodo di Cramer.

Grazie.
 
 

Sistema lineare 3x3 con sostituzione, confronto, riduzione e Cramer #96203

avt
Omega
Amministratore
L'esercizio ci chiede di calcolare le eventuali soluzioni del sistema lineare di tre equazioni in tre incognite

\begin{cases}x-\dfrac{1}{2}y-z=2\\ \\ \dfrac{1}{3}(x+y)+x=-\dfrac{2}{3}\\ \\ x+\dfrac{1}{2}z=-\dfrac{1}{2}\end{cases}

avvalendoci dei quattro metodi risolutivi. Prima di procedere bisogna però svolgere i calcoli che conducono alla forma normale del sistema, facendo in modo che i coefficienti delle incognite siano numeri interi.

Iniziamo quindi a calcolare per ciascuna equazione il minimo comune multiplo tra i denominatori

\begin{cases}\dfrac{2x-y-2z}{2}=\dfrac{4}{2}\\ \\ \dfrac{x+y+3x}{3}=-\dfrac{2}{3} \\ \\ \dfrac{2x+z}{2}=-\dfrac{1}{2}\end{cases}

Dopo aver sommato tra loro i termini simili, cancellato i denominatori comuni e disposto le incognite secondo l'ordine x, \ y\ \mbox{e}\ z scopriamo che la forma normale associata al sistema è

\begin{cases}2x-y-2z=4\\ \\ 4x+y=-2\\ \\ 2x+z=-1\end{cases}

Esso è un sistema equivalente a quello dato, nel senso che entrambi condividono il medesimo insieme soluzione, pertanto ha senso applicare i metodi risolutivi su di esso invece che sul sistema lineare di partenza.

Iniziamo con il metodo di sostituzione che prevedi di isolare un'incognita (a nostra scelta) in una equazione (a nostra scelta) per poi sostituire l'espressione ricavata nelle altre equazioni.

Siamo furbi e scegliamo un'incognita che abbia coefficiente numerico pari a 1 o -1, ad esempio y nella seconda equazione

\begin{cases}2x-y-2z=4\\ \\ y=-2-4x\\ \\ 2x+z=-1\end{cases}

e rimpiazziamo l'espressione a ogni occorrenza di y nelle altre equazioni

\begin{cases}2x-(-2-4x)-2z=4\\ \\ y=-2-4x\\ \\ 2x+z=-1\end{cases}

Nella prima equazione, sbarazziamoci delle parentesi tonde usando come si deve la regola dei segni

\begin{cases}2x+2+4x-2z=4\\ \\ y=-2-4x\\ \\ 2x+z=-1\end{cases}

e una volta sommati i monomi simili, il sistema diventa:

\begin{cases}6x-2z=2\\ \\ y=-2-4x\\ \\ 2x+z=-1\end{cases}

Come è giusto che sia, l'incognita y compare esclusivamente nell'equazione che abbiamo usato per isolarla, dunque abbiamo terminato il primo step.

A questo punto dobbiamo isolare un'altra incognita diversa da y da una tra la prima e la terza equazione, la seconda invece verrà tralasciata. Con un po' di malizia scegliamo di isolare z dalla terza equazione perché il suo coefficiente è 1

\begin{cases}6x-2z=2\\ \\ y=-2-4x\\ \\ z=-1-2x\end{cases}

e rimpiazziamo l'espressione ottenuta nella prima equazione

\begin{cases}6x-2(-1-2x)=2\\ \\ y=-2-4x\\ \\ z=-1-2x\end{cases}

Prestando la massima attenzione ai segni, sommiamo tra loro i monomi simili ricavando così

\begin{cases}6x+2+4x=2\\ \\ y=-2-4x\\ \\ z=-1-2x\end{cases}

La prima non è altro che un'equazione di primo grado nell'incognita x che una volta espressa in forma normale permette di riscrivere il sistema come

\begin{cases}10x=0\\ \\ y=-2-4x\\ \\ z=-1-2x\end{cases}

da cui riusciamo a stabilire il valore della prima incognita

\begin{cases}x=0\\ \\ y=-2-4x\\ \\ z=-1-2x\end{cases}

Sostituiamo zero a ogni occorrenza di x nelle altre equazioni del sistema, ottenendo in questo modo i valori delle altre incognite

\begin{cases}x=0\\ \\ y=-2-4\cdot 0 \ \ \ \to \ \ \ y=-2\\ \\ z=-1-2\cdot 0 \ \ \ \to \ \ \ z=-1\end{cases}

In definitiva, il sistema ammette come unica soluzione la tripla

(x,y,z)=(0, -2, -1)

e in quanto tale è determinato.



Risolviamo il sistema

\begin{cases}2x-y-2z=4\\ \\ 4x+y=-2\\ \\ 2x+z=-1\end{cases}

con il metodo del confronto, chiaramente otterremo la medesima soluzione trovata con il metodo di sostituzione.

Scegliamo un'incognita e, se possibile, isoliamola in tutte e tre le equazioni. A titolo di esempio, scegliamo x

\begin{cases}x=\dfrac{y+2z+4}{2}\\ \\ x=\dfrac{-y-2}{4}\\ \\ x=\dfrac{-1-z}{2}\end{cases}

Osserviamo con attenzione le tre equazioni: quella che presenta l'espressione più semplice è la seconda, per cui la usiamo per procedere al confronto con le altre equazioni

\begin{cases}\dfrac{-y-2}{4}=\dfrac{y+2z+4}{2}\\ \\ x=\dfrac{-y-2}{4}\\ \\ \dfrac{-y-2}{4}=\dfrac{-1-z}{2}\end{cases}

Per il momento tralasceremo la seconda equazione mentre riscriviamo le restanti in forma normale. Per prima cosa calcoliamo il minimo comune multiplo tra i denominatori

\begin{cases}\dfrac{-y-2}{4}=\dfrac{2y+4z+8}{4}\\ \\ x=\dfrac{-y-2}{4}\\ \\ \dfrac{-y-2}{4}=\dfrac{-2-2z}{4}\end{cases}

Dopo aver cancellato i denominatori comuni, trasportiamo le incognite a sinistra e i termini noti a destra

\begin{cases}-y-2y-4z=8+2\\ \\ x=\dfrac{-y-2}{4}\\ \\ -y+2z=-2-2\end{cases}

da cui sommando i monomi simili ricaviamo

\begin{cases}-3y-4z=10\\ \\ x=\dfrac{-y-2}{4}\\ \\ -y+2z=0\end{cases}

Ora dobbiamo isolare un'ulteriore incognita, diversa da x, sia nella prima che nella terza equazione e la scelta ricade su y

\begin{cases}y=-\dfrac{10+4z}{3}\\ \\ x=\dfrac{-y-2}{4}\\ \\ y=2z\end{cases}

Confrontiamo le due espressioni

\begin{cases}y=-\dfrac{10+4z}{3}\\ \\ x=\dfrac{-y-2}{4}\\ \\ -\dfrac{10+4z}{3}=2z\end{cases}

e osserviamo che la terza si è ridotta a un'equazione di primo grado nell'incognita z: risolvendola ricaveremo il suo valore. Per prima cosa moltiplichiamo i due membri per 3

\begin{cases}y=-\dfrac{10+4z}{3}\\ \\ x=\dfrac{-y-2}{4}\\ \\ -10-4z=6z\end{cases}

dopodiché trasportiamo i termini con l'incognita al primo membro e quelli senza al secondo

\begin{cases}y=-\dfrac{10+4z}{3}\\ \\ x=\dfrac{-y-2}{4}\\ \\ -4z-6z=10\ \ \ \to \ \ \ -10z=10\ \ \ \to \ \ \ z=-1\end{cases}

Una volta ricavato il valore dell'incognita z, possiamo sostituirlo nella prima equazione, ottenendo il valore di y

\begin{cases}y=-\dfrac{10+4(-1)}{3}\ \ \ \to \ \ \ y=-\dfrac{6}{3}=-2\\ \\ x=\dfrac{-y-2}{4}\\ \\ z=-1\end{cases}

Infine rimpiazziamo nella seconda equazione così da ottenere x

\begin{cases}y=-2\\ \\ x=\dfrac{-(-2)-2}{4} \ \ \ \to \ \ \ x=0\\ \\ z=-1\end{cases}

In definitiva, il sistema è soddisfatto unicamente dalla tripla

(x,y,z)=(0,-2,-1)



Vediamo come risolvere il sistema con il metodo di riduzione.

Guardiamo in faccia la forma normale del sistema e decidiamo quale incognita eliminare

\begin{cases}2x-y-2z=4\\ \\ 4x+y=-2\\ \\ 2x+z=-1\end{cases}

Proprio perché sia y che z compaiono in due equazioni su tre, conviene cancellarne una di queste per mere questioni di calcolo.

Decidiamo di cancellare y sommando la prima equazione alla seconda

\begin{cases}2x-y-2z=4\\ \\ (4x+y)+(2x-y-2z)=-2+4\\ \\ 2x+z=-1\end{cases}

da cui

\begin{cases}2x-y-2z=4\\ \\ 6x-2z=2\\ \\ 2x+z=-1\end{cases}

Com'è giusto che sia, l'incognita y compare esclusivamente nella prima equazione che lasceremo da parte per il momento. Prefiggiamoci il compito di cancellare una tra x\ \mbox{e} \ z nell'ultima incognita: come sempre la scelta è arbitraria e non modifica in alcun modo l'insieme delle soluzioni.

Decidiamo di cancellare z e per farlo moltiplichiamo per 2 la terza equazione

\begin{cases}2x-y-2z=4\\ \\ 6x-2z=2\\ \\ 4x+2z=-2\end{cases}

dopodiché la sommiamo con la seconda

\begin{cases}2x-y-2z=4\\ \\ 6x-2z=2\\ \\ (4x+2z)+(6x-2z)=-2+2\end{cases}

Una volta sommati i termini simili, ci riconduciamo a un'equazione di primo grado nell'incognita x

\begin{cases}2x-y-2z=4\\ \\ 6x-2z=2\\ \\ 10x=0 \ \ \ \to \ \ \ x=0\end{cases}

Rimpiazziamo il valore ottenuto a ogni occorrenza di x così che il sistema diventi

\begin{cases}-y-2z=4\\ \\ -2z=2\\ \\ x=0\end{cases}

Sfruttiamo la seconda relazione per determinare il valore di z

\begin{cases}-y-2z=4\\ \\ z=-1\\ \\ x=0\end{cases}

e infine sostituiamo nella prima equazione, mediante la quale otterremo il valore dell'ultima incognita

\begin{cases}-y-2(-1)=4 \ \ \ \to \ \ \ y=-2\\ \\ z=-1\\ \\ x=0\end{cases}

Possiamo quindi concludere che il sistema ammette come unica soluzione la tripla

(x,y,z)=(0,-2,-1)



Dulcis in fundo, è il momento di applicare il metodo di Cramer, notoriamente quello più meccanico di tutti.

Per prima cosa associamo al sistema lineare

\begin{cases}2x-y-2z=4\\ \\ 4x+y=-2\\ \\ 2x+z=-1\end{cases}

la cosiddetta matrice dei coefficienti, vale a dire quella matrice le cui colonne sono formate dai coefficienti delle incognite: nella prima colonna ci saranno i coefficienti di x, nella seconda colonna quelli di y, nella terza i coefficienti dell'incognita z

A=\begin{bmatrix}2&-1&-2\\ 4&1&0\\ 2&0&1\end{bmatrix}

Calcoliamone il determinante D usando la regola di Sarrus:

\\ \mbox{D}=\begin{vmatrix}2&-1&-2\\ 4&1&0\\ 2&0&1\end{vmatrix}=\\ \\ \\ =2\cdot 1\cdot 1+(-1)\cdot 0\cdot 2+(-2)\cdot 4\cdot 0-[-1\cdot 4\cdot 1+2\cdot 0\cdot 0+(-2)\cdot 1\cdot 2]=\\ \\ =2-(-4-4)=10

Il determinante associato alla matrice dei coefficienti è diverso da zero pertanto il sistema ammetterà certamente una e una sola soluzione, il cui calcolo richiede tre ulteriori determinanti che indichiamo con \mbox{D}_{x}, \ \mbox{D}_{y}\ \mbox{e}\ \mbox{D}_{z}.

D_{x} è il determinante della matrice che si ottiene da A sostituendo la colonna dei coefficienti di x con la colonna dei termini noti

\\ \mbox{D}_{x}=\begin{vmatrix}4&-1&-2\\ -2&1&0\\ -1&0&1\end{vmatrix}= \\ \\ \\ =4\cdot 1\cdot 1+(-1)\cdot 0\cdot (-1)+(-2)\cdot (-2)\cdot 0-[(-1)\cdot (-2)\cdot 1+4\cdot 0 \cdot 0+(-2)\cdot 1\cdot (-1)]=\\ \\=4-4=0

\mbox{D}_{y} è invece il determinante della matrice che si ottiene da A sostituendo la colonna dei coefficienti di y con quella dei termini noti

\\ \mbox{D}_{y}=\begin{vmatrix}2&4&-2\\ 4&-2&0\\ 2&-1&1\end{vmatrix}= \\ \\ \\ =2\cdot(-2)\cdot 1+4\cdot 0\cdot 2+(-2)\cdot 4\cdot (-1)-[4\cdot 4\cdot 1 +2\cdot 0 \cdot (-1)+(-2)\cdot (-2)\cdot 2]=\\ \\ =-4+0+8-(16+0+8)=4-24=-20

\mbox{D}_{z} è infine il determinante della matrice che si ottiene da A sostituendo la colonna dei coefficienti dell'incognita z con quella dei termini noti del sistema

\\ \mbox{D}_{z}=\begin{vmatrix}2&-1&4\\ 4&1&-2\\ 2&0&-1\end{vmatrix}=\\ \\ \\ =2\cdot 1\cdot (-1)+(-1)\cdot(-2)\cdot 2+4\cdot 4\cdot 0-[1\cdot 4\cdot (-1)+2\cdot(-2)\cdot 0+4\cdot 1\cdot 2]=\\ \\ =-2+4-(4+8)=-10

Disponendo dei tre determinanti, possiamo ricavare i valori delle incognite con le formule di Cramer

\\ x=\frac{\mbox{D}_{x}}{\mbox{D}}=\frac{0}{10}=0 \\ \\ \\ y=\frac{\mbox{D}_{y}}{\mbox{D}}=\frac{-20}{10}=-2 \\ \\ \\ z=\frac{\mbox{D}_{z}}{\mbox{D}}=\frac{-10}{10}=-1

Possiamo concludere quindi che la tripla

(x,y,z)=(0, -2, -1)

è l'unica soluzione del sistema lineare dato.

Osserviamo che dal punto di vista puramente algebrico, il metodo di Cramer è la strategia migliore: consente di raggiungere la soluzione senza troppi patemi d'animo. D'altra parte il metodo del confronto è certamente quello che richiede un numero maggiore di calcoli ed è dunque sconsigliato.
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