Equazione di grado 10 con i radicali #96057

avt
Hugotresei
Punto
Avrei bisogno del vostro aiuto per calcolare le soluzioni di un'equazione di decimo grado a coefficienti irrazionali che a detta del testo è un'equazione trinomia. Io ho tentato l'approccio standard, ma i risultati non coincidono con quelli del testo.

Determinare le soluzioni dell'equazione trinomia

9x^(10)-6√(3)x^5+3 = 0

Grazie.
 
 

Equazione di grado 10 con i radicali #96058

avt
Omega
Amministratore
Consideriamo l'equazione

9x^(10)-6√(3)x^5+3 = 0

L'esercizio chiede di calcolare le sue soluzioni, ma prima è opportuno effettuare una precisazione: gli esponenti con cui si presenta l'incognita x, 10 e 5, sono l'uno il doppio dell'altro. Questa caratteristica ci permette di affermare che

9x^(10)-6√(3)x^5+3 = 0

è effettivamente un'equazione trinomia.

La strategia risolutiva di questa tipologia di equazioni è standard: bisogna procedere per sostituzione, ponendo t = x^5 e sfruttando la proprietà relativa a unapotenza di una potenza mediante la quale siamo in grado di esprimere il quadrato di t in termini di x

t^(2) = (x^5)^2 = x^(5·2) = x^(10)

Procedendo per sostituzione, ci riconduciamo all'equazione di secondo grado

9t^2-6√(3)t+3 = 0

i cui coefficienti sono:

a = 9 , b = -6√(3) , c = 3

A questo punto calcoliamo il discriminante associato all'equazione in t

Δ = b^2-4ac = (-6√(3))^2-4·9·3 =

e semplifichiamo il risultato aiutandoci con le proprietà delle potenze

= 6^2(√(3))^2-4·9·3 = 36·3-108 = 108-108 = 0

In accordo con la teoria, la nullità del delta garantisce che l'equazione di secondo grado ammette due soluzioni reali e coincidenti e sono:

t_1 = t_2 = (-b±√(Δ))/(2a) = (6√(3))/(18) = (√(3))/(3)

dunque

t = (√(3))/(3)

è il valore che realizza l'uguaglianza.

A questo punto, ritorniamo nell'incognita x tenendo a mente la sostituzione fatta.

Poiché t = x^5, la relazione

t = (√(3))/(3)

si tramuta nell'equazione binomia

x^5 = (√(3))/(3)

che conduce alla soluzione

x = [5]√((√(3))/(3))

Prima di mettere un punto all'esercizio, ricorriamo alle proprietà delle radici così da semplificare il risultato. Ricordando innanzitutto che la radice di un rapporto coincide con il rapporto delle radici, ricaviamo

x = ([5]√(√(3)))/([5]√(3))

e, in forza della proprietà relativa alla radice di una radice, possiamo moltiplicare tra loro gli indici della radice quinta e della radice quadrata, ottenendo

x = (sqrt[10]3)/([5]√(3))

In definitiva, l'insieme delle soluzioni associato all'equazione trinomia è

S = (sqrt[10]3)/([5]√(3))

L'esercizio è concluso.
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