Esercizio equazione fratta con i logaritmi

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Esercizio equazione fratta con i logaritmi #96022

avt
staultz
Visitatore
Ho bisogno di voi per risolvere un'equazione fratta con più logaritmi in basi diverse. Devo applicare la formula del cambiamento di base, per caso?

Calcolare l'insieme delle soluzioni associato alla seguente equazione logaritmica fratta

\frac{\log_{\frac{1}{3}}(2x+4)+\log_{3}(x)+\log_{3}(x-1)}{\log_{3}\left(\dfrac{x}{2}\right)}=0

Grazie.
 
 

Esercizio equazione fratta con i logaritmi #96037

avt
mgrau
Cerchio
Dobbiamo risolvere l'equazione fratta

\frac{\log_{\frac{1}{3}}(2x+4)+\log_{3}(x)+\log_{3}(x-1)}{\log_{3}\left(\dfrac{x}{2}\right)}=0

nella quale si manifestano logaritmi in basi differenti.

Prima di svolgere qualsiasi passaggio algebrico, bisogna imporre le condizioni di esistenza: richiederemo che gli argomenti dei logaritmi siano maggiori di zero e che il denominatore sia non nullo. Si noti che tali vincoli devono valere contemporaneamente, ecco perché impostiamo il seguente sistema:

\begin{cases}2x+4>0  \ \ \ \to \ \ \ x>-2\\ \\ x-1>0 \ \ \ \to \ \ \ x>1 \\ \\ \dfrac{x}{2}>0 \ \ \ \to \ \ \ x>0 \\ \\ \log_{3}\left(\dfrac{x}{2}\right)\ne 0 \ \ \ \to \ \ \ \dfrac{x}{2}\ne 1 \ \ \ \to \ \ \ x\ne 2\end{cases}

Intersecando le soluzioni delle varie relazioni, scopriamo che il vincolo cui deve sottostare l'incognita è:

C.E.: \ 1<x<2 \ \ \ \vee  \ \ \ x>2

dove \vee è il simbolo matematico che indica il connettivo logico "or".

Una volta imposte le condizioni di esistenza, possiamo occuparci dell'equazione.

\frac{\log_{\frac{1}{3}}(2x+4)+\log_{3}(x)+\log_{3}(x-1)}{\log_{3}\left(\dfrac{x}{2}\right)}=0

Per prima cosa moltiplichiamo i due membri per \log_{3}\left(\dfrac{x}{2}\right)

\log_{\frac{1}{3}}(2x+4)+\log_{3}(x)+\log_{3}(x-1)=0

dopodiché ci avvarremo delle proprietà dei logaritmi per ricondurre l'equazione logaritmica in forma normale.

Usiamo la formula del cambiamento di base dei logaritmi per trasformare il logaritmo in base \frac{1}{3} in un logaritmo in base 3

\log_{\frac{1}{3}}(2x+4)=\frac{\log_{3}(2x+4)}{\log_{3}\left(\frac{1}{3}\right)}=

e, notato che \log_{3}\left(\frac{1}{3}\right)=-1, la precedente espressione diventa

=-\log_{3}(2x+4)

L'equazione diventa quindi

-\log_{3}(2x+4)+\log_{3}(x)+\log_{3}(x-1)=0

Per poter risparmiare qualche passaggio, trasportiamo -\log_{3}(2x+4)

\log_{3}(x)+\log_{3}(x-1)=\log_{3}(2x+4)

e sfruttiamo la regola sulla somma di logaritmi, così da ricavare l'equazione

\\ \log_{3}(x(x-1))=\log_{3}(2x+4) \\ \\ \log_{3}(x^2-x)=\log_{3}(2x+4)

Uguagliamo gli argomenti

x^2-x=2x+4 \ \ \ \to \ \ \ x^2-3x-4=0

e risolviamo l'equazione di secondo grado con la formula del discriminante

\\ x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{3\pm\sqrt{9-4\cdot 1\cdot (-4)}}{2} =\frac{3\pm\sqrt{25}}{2}= \\ \\ \\ =\frac{3\pm 5}{2}=\begin{cases}-\frac{2}{2}=-1=x_1 \\ \\ \frac{8}{2}=4=x_2\end{cases}

I due valori, x_1=-1\ \mbox{e} \ x_2=4, si candidano come soluzione dell'equazione iniziale. Attenzione! Solo x_2=4 è soluzione dell'equazione perché è l'unica che rispetta le condizioni di esistenza.

In conclusione, l'insieme soluzione dell'equazione

\frac{\log_{\frac{1}{3}}(2x+4)+\log_{3}(x)+\log_{3}(x-1)}{\log_{3}\left(\dfrac{x}{2}\right)}=0

è S=\{4\}.

Ecco fatto!
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Os