Esercizio equazione con modulo

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Esercizio equazione con modulo #95857

avt
Illuminato
Punto
Dovrei risolvere una semplice equazione con valore assoluto in cui i coefficienti sono fratti. Sebbene abbia tentato più volte di risolverla, non sono in grado di giungere alle soluzioni corrette.

Calcolare le eventuali soluzioni dell'equazione con valore assoluto

\left|\frac{x-3}{2}+\frac{2x-4}{3}\right|=\frac{1}{3}

Grazie.
 
 

Esercizio equazione con modulo #95872

avt
Omega
Amministratore
L'esercizio ci chiede di risolvere l'equazione con valore assoluto

\left|\frac{x-3}{2}+\frac{2x-4}{3}\right|=\frac{1}{3}

le cui uniche criticità risiedono essenzialmente nella presenza dei coefficienti fratti. Per poterne calcolare le eventuali soluzioni, svolgiamo i calcoli all'interno del valore assoluto, calcolando il minimo comune multiplo tra i denominatori, sviluppando i prodotto e sommando infine i monomi simili

\\ \left|\frac{3(x-3)+2(2x-4)}{6}\right|=\frac{1}{3} \\ \\ \\ \left|\frac{3x-9+4x-8}{6}\right|=\frac{1}{3} \\ \\ \\ \left|\frac{7x-17}{6}\right|=\frac{1}{3}

Ora l'equazione è a "modello", infatti troviamo un modulo al primo membro e un numero al secondo, ossia ci siamo ricondotti alla forma canonica

|A(x)|=k \ \ \ \mbox{con} \ k \ \mbox{numero positivo}

In accordo con la teoria, bisogna risolvere separatamente le due equazioni

\frac{7x-17}{6}=-\frac{1}{3} \ \ \ ,  \ \ \ \frac{7x-17}{6}=\frac{1}{3}

e unire infine i loro insiemi soluzione.

Risolviamo la prima

\frac{7x-17}{6}=-\frac{1}{3}

Essa è chiaramente un'equazione di primo grado a coefficienti fratti che risolviamo calcolando il minimo comune multiplo tra i denominatori

\frac{7x-17}{6}=-\frac{2}{6}

dopodiché moltiplichiamo a destra e a sinistra per 6 ricavando così un'equazione equivalente che però è a coefficienti interi.

7x-17=-2

da cui, isolando l'incognita al primo membro, ricaviamo:

7x=17-2 \ \ \ \to \ \ \ x=\frac{15}{7}

Tale valore rappresenta la prima soluzione dell'equazione con i moduli.

Occupiamoci dell'equazione

\frac{7x-17}{6}=\frac{1}{3}

che possiamo risolvere ripercorrendo il medesimo ragionamento seguito per l'equazione precedente

\\ \frac{7x-17}{6}=\frac{2}{6} \\ \\ \\ 7x-17=2 \ \ \ \to \ \ \ x=\frac{19}{7}

Finalmente siamo in possesso di tutte le informazioni necessarie a concludere che l'equazione

\left|\frac{x-3}{2}+\frac{2x-4}{3}\right|=\frac{1}{3}

ammette due soluzioni

x=\frac{15}{7} \ \ \ , \ \ \ x=\frac{19}{7}

dunque essa è determinata e il suo insieme soluzione è

S=\left\{\frac{15}{7}, \ \frac{19}{7}\right\}

Ecco fatto!
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Os