Scomposizione di un polinomio misto con esponenti n

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Scomposizione di un polinomio misto con esponenti n #9572

avt
matteo
Sfera
Non in grado di risolvere un esercizio sulla scomposizione di un polinomio a esponenti letterali. Il mio insegnante mi ha suggerito di procedere con un raccoglimento totale e di sfruttare in seguito il prodotto notevole relativo al quadrato di un binomio.

Semplificare la seguente espressione algebrica, usando le opportune tecniche di scomposizione.

(x+y)^{3+n}-2(x+y)^{2+n}(2x+y)+(x+y)^{n+1}(2x+y)^{2} \ \ \ \mbox{con} \ n\ge 0

Grazie mille.
Ringraziano: Pi Greco
 
 

Scomposizione di un polinomio misto con esponenti n #9573

avt
Pi Greco
Kraken
Per poter semplificare l'espressione algebrica

(x+y)^{3+n}-2(x+y)^{2+n}(2x+y)+(x+y)^{n+1}(2x+y)^{2}

con n è un numero naturale, abbiamo bisogno di due tecniche di scomposizione:

- il raccoglimento totale, con cui è possibile mettere in evidenza i fattori comuni ai termini che compongono il polinomio;

- il regola sul quadrato di binomio

A^2-2AB+B^2=(A-B)^2

Analizziamo i termini del polinomio

(x+y)^{3+n}-2(x+y)^{2+n}(2x+y)+(x+y)^{n+1}(2x+y)^{2}=

In ogni addendo compare il fattore (x+y)^{n+1}, pertanto possiamo procedere con il raccoglimento totale. Sottolineiamo che per calcolare gli esponenti corretti, bisogna avvalersi della regola sul quoziente di due potenze con la stessa base.

\\ =(x+y)^{n+1}\left[(x+y)^{3+n-(n+1)}-2(x+y)^{2+n-(n+1)}(2x+y)+(x+y)^{n+1-(n+1)}(2x+y)^{2}\right]=\\ \\ = (x+y)^{n+1}\left[(x+y)^{2}-2(x+y)(2x+y)+(2x+y)^{2}\right]=(\bullet)

Il polinomio nelle parentesi quadre può essere decomposto con la regola sul quadrato di binomio. Osserviamo infatti che sono presenti due termini quadratici e il doppio prodotto delle loro basi:

- il primo quadrato è (x+y)^{2}, con base x+y;

- il secondo quadrato è (2x+y)^{2} con base 2x+y;

- il termine -2(x+y)(2x+y) rappresenta, a meno del segno, il doppio prodotto delle basi.

In definitiva, siamo autorizzati a riscrivere l'espressione come:

(\bullet)=(x+y)^{n+1}(x+y-(2x+y))^{2}=

Sbarazziamoci delle parentesi tonde, usando la regola dei segni,

=(x+y)^{n+1}(x+y-2x-y)^2=

sommiamo tra loro i monomi simili

=(x+y)^{n+1}(-x)^2=

e sviluppiamo il quadrato di -x, prestando attenzione al segno.

= x^2(x+y)^{n+1}

Ecco fatto.
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Os