Scomporre una differenza di quadrati con numeri periodici

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Scomporre una differenza di quadrati con numeri periodici #9543

avt
EGLA
Cerchio
Mi è capitato un esercizio sulle scomposizioni di polinomi con i prodotti notevoli che mi chiede di fattorizzare un binomio a coefficienti decimali periodici. Ho capito che devo usare la regola sulla differenza di quadrati, però non capisco quali siano le basi dei due quadrati.

Usare l'opportuno prodotto notevole per scomporre il seguente polinomio.

0,\bar{1}a^2-0,00\bar{1}b^2

Grazie.
 
 

Scomporre una differenza di quadrati con numeri periodici #9587

avt
nando
Frattale
Prima di dedicarci alla scomposizione del polinomio

0,\bar{1}a^2-0,00\bar{1}b^2

bisogna necessariamente esprimere i numeri periodici 0,\bar{1}\ \mbox{e} \ 0,00\bar{1} in forma di frazioni: dobbiamo cioè determinare le rispettive frazioni generatrici.

Osserviamo che 0,\bar{1} è un numero periodico semplice, pertanto la sua frazione generatrice ha:

- per numeratore il numero senza la virgola;

- per denominatore tanti 9 quante sono le cifre che formano il periodo, in questo caso 1.

Scriviamo:

0,\bar{1}=\frac{1}{9}

Il numero 0,00\bar{1} è invece un numero periodico misto e la sua frazione generatrice ha:

- per numeratore il numero senza la virgola;

- per denominatore tanti 9 quante sono le cifre del periodo (1) e tanti zeri quante sono le cifre dell'antiperiodo (2).

Scriviamo quindi:

0,00\bar{1}=\frac{1}{900}

L'espressione diventa quindi:

0,\bar{1}a^2-0,00\bar{1}b^2=\frac{1}{9}a^2-\frac{1}{900}b^2

Per poterla scomporre, possiamo usare il prodotto notevole relativo alla differenza di quadrati

A^2-B^2=(A+B)(A-B)

che consente di esprimere la differenza dei quadrati di due termini come prodotto della loro somma per la loro differenza: bisogna solo comprendere chi ricopre il ruolo di A e chi il ruolo di B, ossia abbiamo bisogno della base dei due quadrati.

Nel caso considerato:

- la base del primo quadrato è \frac{1}{3}a, infatti per le proprietà delle potenze, sussistono le seguenti uguaglianze:

\left(\frac{1}{3}a\right)^2=\frac{1}{3^2}a^2=\frac{1}{9}a^2

- la base del secondo quadrato è \frac{1}{30}b, infatti:

\left(\frac{1}{30}b\right)^2=\frac{1}{30^2}b^2=\frac{1}{900}b^2

In base alla regola, possiamo scrivere finalmente

\\ 0,\bar{1}a^2-0,00\bar{1}b^2=\frac{1}{9}a^2-\frac{1}{900}b^2= \\ \\ \\ =\left(\frac{1}{3}a+\frac{1}{30}b\right)\left(\frac{1}{3}a-\frac{1}{30}b\right)

Abbiamo finito.
Ringraziano: Omega
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Os