Scomposizione polinomio con differenza di quadrati e Ruffini

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Scomposizione polinomio con differenza di quadrati e Ruffini #9460

avt
Mrtoti91
Cerchio
Avrei bisogno del vostro aiuto per scomporre un polinomio usando sia la regola di Ruffini, sia la regola relativa alla differenza di quadrati. Avevo pensato di usare la tecnica di fattorizzazione per i trinomi notevoli, però la traccia me lo impedisce. Potreste aiutarmi?

Usare la tecnica di scomposizione per la differenza di quadrati e la regola di Ruffini per fattorizzare il seguente polinomio.

(x^2-10)^2-9x^2

Grazie mille.
 
 

Scomposizione polinomio con differenza di quadrati e Ruffini #9464

avt
frank094
Maestro
Oltre a fornire il polinomio, la traccia ci impone la strategia risolutiva da seguire: dobbiamo avvalerci del prodotto notevole relativo alla differenza di quadrati e della regola di Ruffini.

Consideriamo il polinomio

(x^2-10)^2-9x^2=

Esso è evidentemente la differenza dei quadrati di x^2-10\ \mbox{e} \ 3x, per cui si rielabora nel prodotto della loro differenza per la loro somma:

\\ =(x^2-10-3x)(x^2-10+3x)= \\ \\ =(x^2-3x-10)(x^2+3x-10)

Sebbene sia x^2-3x-10\ \mbox{sia} \ x^2+3x-10 siano effettivamente trinomi notevoli (e quindi scomponibili con la regola omonima), usiamo la regola di Ruffini per esprimerli nel prodotto di fattori polinomiali irriducibili.

Esaminiamo x^2-3x-10; esso è:

- un polinomio ordinato secondo le potenze decrescenti di x;

- un polinomio completo in x;

- un polinomio monico, infatti il coefficiente di x^2 è uno.

Per innescare Ruffini, abbiamo bisogno di una sua radice, ossia di un valore che sostituito alla lettera x, annulla x^2-3x-10. Proprio perché il coefficiente di x^2 è uno, possiamo ricercare il valore tra i divisori - con segno - del termine noto.

\mbox{Divisori di} \ 10=\{\pm 1, \ \pm 2 , \ \pm 5, \ \pm 10\}

Procedendo per tentativi, scopriamo che il valore utile al nostro scopo è x=-2, infatti se lo sostituiamo al posto di x, il trinomio x^2-3x-10 si annulla:

(-2)^2-3\cdot(-2)-10=4+6-10=0

In accordo con la regola, x^2-3x-10 si esprime come prodotto tra il binomio x-(-2) e il polinomio di primo grado, i cui coefficienti figurano nell'ultima riga della tabella di Ruffini, che in questa circostanza è:

\begin{array}{c|cccc|c}&1&&&-3&-10\\ &&&&& \\ -2&&&&-2&-10\\ \hline &1&&&-5&//\end{array}

pertanto scriviamo:

x^2-3x-10=(x-(-2))(x-5)=(x+2)(x-5)

Usiamo la medesima strategia per scomporre il polinomio

x^2+3x-10

In questo caso, il valore che consente di usare la regola di Ruffini è x=2, infatti:

2^2+3\cdot 2-10=4+6-10=0

pertanto la tabella è:

\begin{array}{c|cccc|c}&1&&&3&-10\\ &&&&& \\ 2&&&&2&10\\ \hline &1&&&5&//\end{array}

In definitiva, x^2+3x-10 si scompone nel prodotto tra x-2\ \mbox{e} \ x+5, vale a dire:

x^2+3x-10=(x-2)(x+5)

Abbiamo finalmente tutte le informazioni che consentono di portare a termine l'esercizio.

\\ (x^2-10)^2-9x^2= \\ \\ =(x^2-3x-10)(x^2+3x-10)=\\ \\ =(x+2)(x-5)(x-2)(x+5)

Ecco fatto!
Ringraziano: Omega, Pi Greco
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Os