Equazione fratta con logaritmi in base 2

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Equazione fratta con logaritmi in base 2 #94331

avt
Natti
Punto
Potreste aiutarmi a risolvere un'equazione logaritmica fratta, per favore? Il libro suggerisce di procedere per sostituzione, però non capisco come muovermi.

Risolvere la seguente equazione fratta con i logaritmi.

(3)/(log_2(x)-1)+(2)/(log_2(x)+1) = 2

Suggerimento: procedere per sostituzione.

Grazie mille.
 
 

Equazione fratta con logaritmi in base 2 #94341

avt
Pi Greco
Kraken
Prima di calcolare le eventuali soluzioni dell'equazione fratta

(3)/(log_2(x)-1)+(2)/(log_2(x)+1) = 2

bisogna imporre le condizioni di esistenza: gli argomenti dei logaritmi devono essere maggiori di zero, mentre i denominatori che contengono l'incognita diversi da zero. Proprio perché i vincoli devono valere contemporaneamente, essi formano il seguente sistema di disequazioni

x > 0 ; log_(2)(x)-1 ne 0 ; log_(2)(x)+1 ne 0

Analizziamo a parte la seconda e la terza relazione, trattandole come se fossero equazioni logaritmiche. Partiamo dalla relazione:

log_(2)(x)-1 ne 0 → log_(2)(x) ne log_(2)(2) → x ne 2

Occupiamoci dell'altra

log_(2)(x)+1 ne 0 → log_(2)(x) ne-1 → log_(2)(x) ne-1

Se applichiamo ai due membri l'esponenziale in base 2, ricaviamo x ne 2^(-1), che in accordo con la definizione di potenza con esponente negativo, si tramuta in

x ne (1)/(2)

Ora abbiamo tutte le informazioni necessarie per esprimere come si deve le condizioni di esistenza

C.E.: 0 < x < (1)/(2) ∨ (1)/(2) < x < 2 ∨ x > 2

Ritorniamo all'equazione

(3)/(log_2(x)-1)+(2)/(log_2(x)+1) = 2

e operiamo la sostituzione t = log_(2)(x), mediante la quale ricaviamo:

(3)/(t-1)+(2)/(t+1) = 2

Trasportiamo tutto al primo membro

(3)/(t-1)+(2)/(t+1)-2 = 0

e sommiamo tra loro le frazioni algebriche calcolando il minimo comune multiplo dei polinomi al denominatore.

(3(t+1)+2(t-1)-2(t-1)(t+1))/((t-1)(t+1)) = 0

Svolgiamo le operazioni al numeratore, prestando la massima attenzione al prodotto tra la somma e la differenza dei monomi t e 1

(3t+3+2t-2-2t^2+2)/((t-1)(t+1)) = 0 ; (-2t^2+7t+3)/((t-1)(t+1)) = 0

e moltiplichiamo i due membri per (t-1)(t+1) così da sbarazzarci del denominatore:

-2t^2+5t+3 = 0 → 2t^2-5t-3 = 0

Ci siamo ricondotti a un'equazione di secondo grado in t che possiamo risolvere con la formula del discriminante

Δ = b^2-4ac = (-5)^2-4·2·(-3) = 49

pertanto:

t_(1,2) = (-b±√(Δ))/(2a) = (5±√(49))/(4) = (5±7)/(4) = -(2)/(4) = -(1)/(2) = t_1 ; (12)/(4) = 3 = t_2

Le soluzioni dell'equazione di secondo grado sono quindi:

t = -(1)/(2) e t = 3

Ripristiniamo l'incognita x tenendo conto della sostituzione t = log_(2)(x), grazie alla quale le due relazioni precedenti si tramutano nelle equazioni logaritmiche

log_(2)(x) = -(1)/(2) e log_(2)(x) = 3

Per determinare le soluzioni, è sufficiente applicare l'esponenziale in base 2 ai due membri. Dalla prima ricaviamo la soluzione x = (1)/(√(2)), infatti:

log_(2)(x) = -(1)/(2) → x = 2^(-(1)/(2))

da cui, per definizione di potenza con esponente razionale:

x = (1)/(√(2))

Risolviamo la seconda equazione:

log_(2)(x) = 3 → x = 2^(3) → x = 8

Poiché i due valori rispettano le condizioni di esistenza

x = (1)/(√(2)) e x = 8

sono le soluzioni dell'equazione

(3)/(log_2(x)-1)+(2)/(log_2(x)+1) = 2

Ecco fatto!
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Os