Esercizio su differenza di cubi e proprietà delle potenze

Mi è capitato un esercizio sulla scomposizione dei polinomi da svolgere con la regola sulla differenza di cubi, ma c'è un problema: non ho una differenza di cubi! Come devo procedere?

Usare la regola sulla differenza di cubi per scomporre il seguente polinomio:



Grazie mille.

Per scomporre il polinomio



possiamo avvalerci della regola relativa alla differenza di cubi:



Tale relazione è un particolare prodotto notevole che consente di esprimere la differenza dei cubi di due termini mediante il prodotto tra la loro differenza e il trinomio formato dal quadrato del primo termine, dal prodotto dei due termini e dal quadrato del secondo.

Sia chiaro che la relazione diventa utile nel momento in cui conosciamo le espressioni di : in termini più espliciti, dobbiamo ricavare le basi dei due cubi!

Esaminiamo i monomi che costituiscono il binomio:



e usiamo le proprietà delle potenze per dimostrare che sia il primo sia il secondo addendo siano effettivamente dei cubi.

Il termine è il cubo di , infatti:



mentre il termine è il cubo di . Deduciamo quindi che i termini di cui abbiamo bisogno per usare il prodotto notevole sono:



per cui



Portiamo a termine le operazioni tra i monomi e scriviamo la scomposizione richiesta:



Ecco fatto!

Osservazione: il trinomio è a conti fatti un falso quadrato e in quanto tale irriducibile.