Esercizio: cubo di binomio con numeri periodici

Prima di postare leggi le regole del Forum. Puoi anche leggere le ultime discussioni.

Esercizio: cubo di binomio con numeri periodici #93385

avt
Franco99
Punto
Dovrei risolvere un esercizio sullo sviluppo del cubo di un binomio a coefficienti decimali periodici. Conosco il prodotto notevole e ho fatto tutti gli altri esercizi, però in questo caso non so come trattare i numeri periodici.

Calcolare il seguente cubo di binomio

\left(0,\bar{6}x+0,\bar{2}\right)^3

Grazie mille.
Ringraziano: Omega, CarFaby
 
 

Esercizio: cubo di binomio con numeri periodici #93405

avt
MathLover22
Cerchio
Prima di sviluppare il cubo di binomio

\left(0,\bar{6}x+0,\bar{2}\right)^3

diventa necessario esprimere i numeri periodici, 0,\bar{6}\ \mbox{e} \ 0,\bar{2}, nelle rispettive frazioni generatrici. In questa occasione, la frazione generatrice di 0,\bar{6} ha per numeratore il numero senza la virgola e per denominatore tanti nove quante sono le cifre che formano il periodo, dunque:

0,\bar{6}=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}

Per lo stesso motivo, la frazione associata a 0,\bar{2} è \frac{2}{9}, di conseguenza il cubo di binomio diventa

\left(0,\bar{6}x+0,\bar{2}\right)^3=\left(\frac{2}{3}x+\frac{2}{9}\right)^3

A questo punto possiamo usare la regola sul cubo di binomio

(A+B)^3=A^3+3A^2B+3AB^2+B^3

che consente di esprimere il cubo di una somma di monomi mediante la somma tra il cubo del primo termine, il triplo prodotto tra il quadrato del primo e il secondo, il triplo prodotto tra il primo e il quadrato del secondo termine e il cubo del secondo termine.

Nel caso in esame, il primo e il secondo termine sono rispettivamente

\frac{2}{3}x \ \ \ \mbox{e} \ \ \ \frac{2}{9}

e in accordo con la regola sullo sviluppo del cubo di un binomio, scriviamo:

\left(\frac{2}{3}x+\frac{2}{9}\right)^3=\left(\frac{2}{3}x\right)^3+3\cdot\left(\frac{2}{3}x\right)^2\cdot\frac{2}{9}+3\cdot\left(\frac{2}{3}x\right)\cdot\left(\frac{2}{9}\right)^2+\left(\frac{2}{9}\right)^3=

Svolgiamo le operazioni tra i monomi, utilizzando le proprietà delle potenze e riducendo le frazioni ai minimi termini

=\frac{2^3}{3^3}x^3+3\cdot\frac{2^2}{3^2}x^2\cdot\frac{2}{9}+3\cdot\frac{2}{3}x\cdot\frac{2^2}{9^2}+\frac{2^3}{9^3}= \\ \\ \\ =\frac{8}{27}x^3+\frac{24}{81}x^2+\frac{24}{243}x+\frac{8}{729}= \\ \\ \\ =\frac{8}{27}x^3+\frac{8}{27}x^2+\frac{8}{81}x+\frac{8}{729}

Possiamo concludere pertanto che lo sviluppo del cubo di binomio richiesto è:

\left(0,\bar{6}x+0,\bar{2}\right)^3=\frac{8}{27}x^3+\frac{8}{27}x^2+\frac{8}{81}x+\frac{8}{729}

Ecco fatto!
Ringraziano: Omega, CarFaby
  • Pagina:
  • 1
Os