Equazione irrazionale fratta

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Equazione irrazionale fratta #93132

avt
pandalini
Punto
Non sono capace di risolvere un'equazione irrazionale fratta e sebbene abbia tentato più e più volte di risolverla non sono stato in grado di portarla a termine, per questo motivo mi rivolgo a voi: ho bisogno di aiuto.

Calcolare le eventuali soluzioni dell'equazione irrazionale fratta

\sqrt{x+3}+\frac{1}{\sqrt{x+3}}=\frac{5}{2}

dopo aver imposto le condizioni di esistenza che il caso richiede.
 
 

Equazione irrazionale fratta #93155

avt
Iusbe
Templare
Il nostro obiettivo consiste nel calcolare le soluzioni dell'equazione irrazionale fratta

\sqrt{x+3}+\frac{1}{\sqrt{x+3}}=\frac{5}{2}

non prima di aver impostato le condizioni sotto le quali le espressioni di cui essa è composta abbiano senso.

Affinché le radici quadrate siano ben poste, dobbiamo richiedere che i loro radicandi siano maggiori o al più uguali a zero

x+3\ge 0

Inoltre per far sì che il termine \frac{1}{\sqrt{x+3}} abbia significato, dobbiamo pretendere che il denominatore sia diverso da zero, vale a dire

\sqrt{x+3}\ne 0

Le due condizioni

x+3\ge 0 \ \ \ , \  \ \ \sqrt{x+3}\ne 0

devono valere contemporaneamente e possono essere espresse mediante l'unica relazione

x+3>0 \ \ \ \to \ \ \ x>-3

ricordiamo infatti che se il radicando è positivo, allora la sua radice quadrata sarà certamente maggiore di zero.

Una volta esplicitata la condizione di esistenza possiamo occuparci dei passaggi algebrici che consentono di esprimere l'equazione fratta in forma normale: in altri termini, faremo in modo che al primo membro si presenti un'unica frazione, mentre al secondo membro dovrà esserci zero.

Trasportiamo tutti i termini a sinistra

\sqrt{x+3}+\frac{1}{\sqrt{x+3}}-\frac{5}{2}=0

dopodiché calcoliamo il denominatore comune

\frac{2(\sqrt{x+3})^2+2-5\sqrt{x+3}}{2\sqrt{x+3}}=0

Semplifichiamo la radice quadrata con il quadrato a numeratore

\frac{2(x+3)+2-5\sqrt{x+3}}{2\sqrt{x+3}}=0

sviluppiamo il prodotto e sommiamo tra loro i monomi simili

\frac{2x+8-5\sqrt{x+3}}{2\sqrt{x+3}}=0

Sotto le condizioni di esistenza, possiamo cancellare il denominatore, ricavando comunque l'equazione equivalente

2x+8-5\sqrt{x+3}=0

da cui, isolando il termine irrazionale a sinistra, ricaviamo

-5\sqrt{x+3}=-2x-8 \ \ \ \to \ \ \ \sqrt{x+3}=\frac{2x+8}{5}

Ora che l'equazione irrazionale è a modello, possiamo imporre la cosiddetta condizione di concordanza: poiché la radice quadrata è positiva o al più nulla, dobbiamo pretendere che anche il secondo membro lo sia, pertanto deve sussistere la disequazione di primo grado

C.C.: \ \frac{2x+8}{5}\ge 0 \ \ \ \to \ \ \ x\ge -4

Torniamo all'equazione ed eleviamo al quadrato i due membri

(\sqrt{x+3})^2=\left(\frac{2x+8}{5}\right)^2

cancelliamo la radice al primo e sfruttiamo le proprietà delle potenze al secondo, ricavando così

x+3=\frac{(2x+8)^2}{25}

Sviluppiamo il quadrato di binomio

x+3=\frac{64+32x+4x^2}{25}

e una volta trasportati i termini al primo membro, calcoliamo il minimo comune multiplo tra i denominatori

\\ x+3-\frac{64+32x+4x^2}{25}=0 \\ \\ \\ \frac{-4x^2-7x+11}{25}=0

Infine moltiplichiamo i due membri per 25 così da ricavare l'equazione di secondo grado

-4x^2-7x+11=0 \ \ \ \to \ \ \ 4x^2+7x-11=0

i cui coefficienti sono

a=4 \ \ \ , \  \ \ b=7 \ \ \ ,\ \ \ c=-11

Calcoliamo il discriminante con la formula

\Delta=b^2-4ac=7^2-4\cdot 4\cdot (-11)=225

e le soluzioni con la relazione

\\ x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-7\pm\sqrt{225}}{2\cdot 4}= \\ \\ \\ =\frac{-7\pm 15}{8}=\begin{cases}\frac{-7-15}{8}=-\frac{11}{4}=x_1 \\ \\ \frac{-7+15}{8}=1=x_2\end{cases}

Affinché i due valori siano anche soluzioni dell'equazione irrazionale, devono soddisfare contemporaneamente sia la condizione di esistenza sia la condizione di concordanza, altrimenti sono falsi positivi.

x=-\frac{11}{4} soddisfa il vincolo x>-3, così come soddisfa la relazione x\ge -4 pertanto è soluzione dell'equazione.

Allo stesso modo x=1 soddisfa sia la C.E. sia la C.C., pertanto anch'esso è soluzione dell'equazione.

In definitiva

\sqrt{x+3}+\frac{1}{\sqrt{x+3}}=\frac{5}{2}

è soddisfatta per x=-\frac{11}{4}\ \mbox{e} \ x=1 e il suo insieme soluzione è:

S=\left\{-\frac{11}{4},\  1\right\}

Ecco fatto!
Ringraziano: Omega, Pi Greco, Galois, pandalini
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Os