Equazione di grado 1 fratta con i radicali

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Equazione di grado 1 fratta con i radicali #9260

avt
annalisa
Cerchio
Riscontro molte difficoltà nella risoluzione delle equazioni di primo grado fratte con i radicali. Ogni volta che tento di risolvere un esercizio, non ottengo mai il risultato richiesto, nonostante gli sforzi.

Determinare l'insieme soluzione associato all'equazione di primo grado fratta

\frac{x+\sqrt{3}}{x-\sqrt{3}}-\frac{x-\sqrt{3}}{x+\sqrt{3}}+\frac{12}{x^2-3}=0

utilizzando le proprietà dei radicali se è necessario.
 
 

Equazione di grado 1 fratta con i radicali #9321

avt
Omega
Amministratore
Il nostro compito consiste nel risolvere l'equazione fratta di primo grado

\frac{x+\sqrt{3}}{x-\sqrt{3}}-\frac{x-\sqrt{3}}{x+\sqrt{3}}+\frac{12}{x^2-3}=0

e benché compaiono radicali, il processo risolutivo non cambia di una virgola.

Prima di tutto scomponiamo il denominatore x^2-3 vedendolo come la differenza dei quadrati di x\ \mbox{e} \ \sqrt{3}

x^2-3=(x-\sqrt{3})(x+\sqrt{3})

così che l'equazione diventi

\frac{x+\sqrt{3}}{x-\sqrt{3}}-\frac{x-\sqrt{3}}{x+\sqrt{3}}+\frac{12}{(x-\sqrt{3})(x+\sqrt{3})}=0

A questo punto imponiamo le condizioni di esistenza, richiedendo che i denominatori con l'incognita siano diversi da zero: ricordiamo infatti che non è possibile dividere per zero

\\ x-\sqrt{3} \ne 0 \  \ \to \  \ x\ne \sqrt{3} \\ \\ x+\sqrt{3}\ne 0 \ \ \to \ \ x\ne -\sqrt{3}

Il C.E. è quindi:

C.E.:\ x\ne\sqrt{3} \ \wedge \ x\ne -\sqrt{3}

dove \wedge indica il connettivo logico "e".

Sotto i vincoli delle condizioni di esistenza, scriviamo l'equazione fratta in forma normale individuando il minimo comune multiplo tra i polinomi a denominatore

\frac{(x+\sqrt{3})\cdot (x+\sqrt{3})-(x-\sqrt{3})(x-\sqrt{3})+12}{(x-\sqrt{3})(x+\sqrt{3})}=0

La definizione di potenza consente di esprimere l'equazione nella seguente forma

\frac{(x+\sqrt{3})^2-(x-\sqrt{3})^2+12}{(x-\sqrt{3})(x+\sqrt{3})}=0

Sotto i vincoli dettati dal C.E. cancelliamo il denominatore e scriviamo l'equazione equivalente

(x+\sqrt{3})^2-(x-\sqrt{3})^2+12=0

Sviluppiamo i quadrati di binomio

x^2+2\sqrt{3}x+3-(x^2-2\sqrt{3}x+3)+12=0

e sfruttiamo la regola dei segni così da sbarazzarci delle parentesi tonde

x^2+2\sqrt{3}x+3-x^2+2\sqrt{3}x-3+12=0

Sommiamo i termini simili

4\sqrt{3}x+12=0

e osserviamo che quella ottenuta è un'equazione di primo grado che risolviamo isolando il termine con l'incognita al primo membro e trasportando 12 al secondo cambiandone il segno

4\sqrt{3}x=-12

Dividiamo a destra e a sinistra per 4\sqrt{3}

x=\frac{-12}{4\sqrt{3}} \ \ \to \ \ x=\frac{-3}{\sqrt{3}}

e razionalizziamo il risultato moltiplicando e dividendo per \sqrt{3} a destra

x=\frac{-3\sqrt{3}}{(\sqrt{3})\cdot\sqrt{3}} \ \ \to \ \ x=\frac{-3\sqrt{3}}{3}

da cui

x=-\sqrt{3}

Attenzione! La soluzione non è accettabile perché viola le condizioni di esistenza, di conseguenza possiamo concludere che l'equazione è impossibile e il suo insieme soluzione coincide con l'insieme vuoto, ossia S=\emptyset.
Ringraziano: frank094
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Os