Sistema lineare di 3 equazioni in 3 incognite con i 4 metodi di risoluzione

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Sistema lineare di 3 equazioni in 3 incognite con i 4 metodi di risoluzione #92488

avt
SirChopin
Punto
Dovrei risolvere un sistema lineare di tre equazioni in tre incognite utilizzando tutti i metodi visti in classe: il metodo di sostituzione, metodo del confronto, metodo di riduzione e infine il metodo di Cramer. Ho tentato e ritentato ma ogni volta ottengo soluzioni diverse.

Risolvere il seguente sistema lineare utilizzando il metodo di sostituzione, il metodo del confronto, il metodo di riduzione e il metodo di Cramer

\begin{cases}x+y+z=3z+6\\ \\ x+3y=3+z+3(3+z)\\ \\x-y-\left(\dfrac{1}{2}x+\dfrac{1}{3}z\right)=\dfrac{-5z-9}{6}\end{cases}

Grazie.
Ringraziano: Omega
 
 

Sistema lineare di 3 equazioni in 3 incognite con i 4 metodi di risoluzione #92491

avt
Omega
Amministratore
Prima di risolvere il sistema lineare

\begin{cases}x+y+z=3z+6\\ \\ x+3y=3+z+3(3+z)\\ \\ x-y-\left(\dfrac{1}{2}x+\dfrac{1}{3}z\right)=\dfrac{-5z-9}{6}\end{cases}

è necessario svolgere tutti i passaggi algebrici che consentono di esprimerlo in forma normale e possibilmente a coefficienti interi. Nella prima equazione trasportiamo 2z al primo membro cambiandone il segno

\begin{cases}x+y+z-3z=6\\ \\ x+3y=3+z+3(3+z)\\ \\ x-y-\left(\dfrac{1}{2}x+\dfrac{1}{3}z\right)=\dfrac{-5z-9}{6}\end{cases}

dopodiché sommiamo tra loro i monomi simili

\begin{cases}x+y-2z=6\\ \\ x+3y=3+z+3(3+z)\\ \\ x-y-\left(\dfrac{1}{2}x+\dfrac{1}{3}z\right)=\dfrac{-5z-9}{6}\end{cases}

Nella seconda equazione, sviluppiamo il prodotto al membro di destra così da sbarazzarci delle parentesi tonde

\begin{cases}x+y-2z=6\\ \\ x+3y=3+z+9+3z\\ \\ x-y-\left(\dfrac{1}{2}x+\dfrac{1}{3}z\right)=\dfrac{-5z-9}{6}\end{cases}

e in seguito trasportiamo le incognite al primo membro

\begin{cases}x+y-2z=6\\ \\ x+3y-4z=12\\ \\ x-y-\left(\dfrac{1}{2}x+\dfrac{1}{3}z\right)=\dfrac{-5z-9}{6}\end{cases}

Per quanto concerne la terza equazione, bisogna effettuare qualche passaggio in più. Per prima cosa, calcoliamo il minimo comune multiplo tra i denominatori presenti nelle parentesi tonde

\begin{cases}x+y-2z=6\\ \\ x+3y-4z=12\\ \\ x-y-\dfrac{3x+2z}{6}=\dfrac{-5z-9}{6}\end{cases}

A questo punto, esprimiamo a denominatore comune i due membri della terza equazione

\begin{cases}x+y-2z=6\\ \\ x+3y-4z=12\\ \\ \dfrac{6x-6y-3x-2z}{6}=\dfrac{-5z-9}{6}\end{cases}

da cui, svolgendo gli ultimi calcoli, otteniamo

\begin{cases}x+y-2z=6\\ \\ x+3y-4z=12\\ \\ 3x-6y+3z=-9\end{cases}

Possiamo infine dividere i due membri della terza equazione per 3

\begin{cases}x+y-2z=6\\ \\ x+3y-4z=12\\ \\ x-2y+z=-3\end{cases}

In buona sostanza siamo partiti dal sistema iniziale e abbiamo svolto i passaggi algebrici che hanno permesso di ottenere un sistema equivalente a coefficienti interi, di facile risoluzione.

Per calcolare le eventuali soluzioni utilizziamo il metodo di sostituzione, che prevede di isolare un'incognita qualsiasi da una delle tre equazioni così da esprimerla in termini delle altre incognite. La scelta dell'incognita, così come quella dell'equazione, è del tutto arbitraria, ma se scegliamo di isolare un'incognita il cui coefficiente è 1 oppure -1, i calcoli saranno più agevoli.

Dalla prima equazione isoliamo x

\begin{cases}x=-y+2z+6\\ \\ x+3y-4z=12\\ \\ x-2y+z=-3\end{cases}

dopodiché sostituiamo l'espressione che abbiamo trovato nelle due equazioni rimanenti

\begin{cases}x=-y+2z+6\\ \\ (-y+2z+6)+3y-4z=12\\ \\ (-y+2z+6)-2y+z=-3\end{cases}

e infine svolgiamo i calcoli

\begin{cases}x=-y+2z+6\\ \\ 2y-2z=6\\ \\ -3y+3z=-9\end{cases}

Per il momento tralasciamo la prima equazione e concentriamoci sulle altre due che, se osserviamo attentamente, sono equazioni che dipendono esclusivamente dalle incognite y\ \mbox{e} \ z.

Riutilizziamo la tecnica risolutiva, isolando un'incognita dalla seconda o dalla terza equazione: la scelta è ancora una volta del tutto arbitraria e non inficia in alcun modo l'insieme delle soluzioni.

Isoliamo y dalla seconda equazione

\begin{cases}x=-y+2z+6\\ \\ y=3+z\\ \\ -3y+3z=-9\end{cases}

e rimpiazziamo l'espressione nella terza, la quale diventa un'equazione di primo grado nell'incognita z

\begin{cases}x=-y+2z+6\\ \\ y=3+z\\ \\ -3(3+z)+3z=-9\end{cases}

Portiamo a termine i semplici calcoli usando a dovere la regola dei segni così da eliminare le parentesi tonde

\begin{cases}x=-y+2z+6\\ \\ y=3+z\\ \\ -9-3z+3z=-9\end{cases}

Una volta sommati i termini simili, la terza equazione si riduce a un'identità

\begin{cases}x=-y+2z+6\\ \\ y=3+z\\ \\ 0=0\end{cases}

Ciò significa che z può assumere qualsiasi valore reale, diventa cioè un parametro libero di variare nell'insieme dei numeri reali.

Nella seconda equazione, l'incognita y è espressa in termini di z mediante la relazione y=3+z che, rimpiazzata nella prima, ci permette di scrivere il sistema come segue:

\begin{cases}x=-(3+z)+2z+6\\ \\ y=3+z\\ \\ 0=0\end{cases}

Svolgiamo le operazioni e traiamo le dovute conclusioni

\begin{cases}x=3+z\\ \\ y=3+z\\ \\ 0=0\end{cases}

Se da una parte z varia liberamente nell'insieme dei numeri reali, dall'altra le incognite x\ \mbox{e}\ y sono vincolate dal valore che z assume. In altri termini, al variare di z otteniamo soluzioni diverse del tipo

(x,y,z)=(3+z,3+z,z)

e poiché z assume infiniti valori diversi, le soluzioni sono infinite, ecco perché concludiamo che il sistema è indeterminato.



Risolviamo il sistema mediante il metodo del confronto lavorando direttamente sulla forma normale, ossia

\begin{cases}x+y-2z=6\\ \\ x+3y-4z=12\\ \\ x-2y+z=-3\end{cases}

Isoliamo la medesima incognita da tutt'e tre le equazioni, ad esempio x

\begin{cases}x=-y+2z+6\\ \\ x=-3y+4z+12\\ \\ x=+2y-z-3\end{cases}

dopodiché confrontiamo la prima equazione sia con la seconda che con la terza

\begin{cases}x=-y+2z+6\\ \\ -y+2z+6=-3y+4z+12\\ \\ -y+2z+6=+2y-z-3\end{cases}

Da questo momento in poi tralasceremo temporaneamente la prima equazione e ci impegneremo a esprimere le altre in forma normale trasportando le incognite ai membri di sinistra e i termini noti in quelli di destra

\begin{cases}x=-y+2z+6\\ \\ -y+3y+2z-4z=12-6\\ \\ -y-2y+z+2z=-3-6\end{cases}

Sommiamo tra loro i monomi simili ottenendo:

\begin{cases}x=-y+2z+6\\ \\ 2y-2z=6\\ \\ -3y+3z=-9\end{cases}

Reiteriamo il metodo del confronto isolando a titolo di esempio l'incognita y dalla seconda e dalla terza equazione

\begin{cases}x=-y+2z+6\\ \\ 2y=6+2z\ \ \ \to \ \ \ y=\dfrac{2(3+z)}{2}=3+z\\ \\ -3y=-9-3z \ \ \ \to \ \ \ y=\dfrac{-3(3+z)}{-3}=3+z\end{cases}

e infine procediamo con il confronto tra la seconda e la terza così da ricondurci a un'equazione nella sola incognita z

\begin{cases}x=-y+2z+6\\ \\ y=3+z\\ \\ 3+z=3+z \ \ \ \to \ \ \ 0=0\end{cases}

L'ultima relazione individua un'identità, infatti è vera a prescindere dal valore assunto da z la quale diventa parametro libero di variare nell'insieme dei numeri reali.

A questo punto basta sostituire l'espressione di y della seconda equazione nella prima, così da esprimere x in termini di z

\begin{cases}x=-(3+z)+2z+6\\ \\ y=3+z\\ \\ 0=0\end{cases}

da cui ricaviamo

\begin{cases}x=z+3\\ \\ y=3+z\\ \\ 0=0\end{cases}

In definitiva possiamo concludere che il sistema è indeterminato in quanto ammette infinite soluzioni della forma

(x,y,z)=(z+3,z+3,z)

dove z varia nell'insieme dei numeri reali.



Analizziamo il sistema

\begin{cases}x+y-2z=6\\ \\ x+3y-4z=12\\ \\ x-2y+z=-3\end{cases}

con il metodo di riduzione, un procedimento che consente di sostituire un'equazione del sistema sommando o sottraendo a essa un multiplo di un'altra equazione così da cancellare una delle incognite.

La scelta dell'incognita da eliminare è del tutto arbitraria e non modifica in alcun modo l'insieme delle soluzioni. Per fissare le idee, tentiamo di cancellare x.

Sostituiamo la seconda equazione con la differenza tra la seconda e la prima, in modo da eliminare la x

\begin{cases}x+y-2z=6\\ \\ x+3y-4z-(x+y-2z)=12-6 \ \ \ \to \ \ \ 2y-2z=6\\ \\ x-2y+z=-3\end{cases}

Sostituiamo la terza equazione con la differenza tra la terza e la prima: anche questo passaggio permetterà di cancellare x

\begin{cases}x+y-2z=6\\ \\ 2y-2z=6\\ \\ x-2y+z-(x+y-2z)=-3-6 \ \ \ \to \ \ \ -3y+3z=-9\end{cases}

Dopo gli opportuni calcoli, il sistema diventa quindi

\begin{cases}x+y-2z=6\\ \\ 2y-2z=6\\ \\ -3y+3z=-9\end{cases}

Tralasciamo per il momento la prima equazione e concentriamo la nostra attenzione sulle ultime due. Decidiamo di cancellare y dalla terza, ma attenzione: dobbiamo fare in modo che i coefficienti di y siano uguali o al più opposti. Per fare in modo che ciò si verifichi, moltiplichiamo la seconda equazione per il coefficiente di y della terza (-3), mentre moltiplichiamo la terza equazione per il coefficiente di y della seconda (2)

\begin{cases}x+y-2z=6\\ \\ -3(2y-2z)=-3\cdot 6 \ \ \ \to \ \ \ -6y+6z=-18\\ \\ 2(-3y+3z)=2\cdot(-9) \ \ \ \to \ \ \ -6y+6z=-18\end{cases}

Dopo i semplici calcoli, il sistema lineare diventa

\begin{cases}x+y-2z=6\\ \\ -6y+6z=-18\\ \\ -6y+6z=-18\end{cases}

Sostituiamo infine la terza equazione con la differenza tra la terza e la prima

\begin{cases}x+y-2z=6\\ \\ -6y+6z=-18\\ \\ -6y+6z-(-6y+6z)=-18-(-18)\ \ \ \to \ \ \ 0=0\end{cases}

Una volta svolti i semplici calcoli, la terza equazione si riduce a un'uguaglianza senza incognite che è vera indipendentemente dal valore di z, ecco perché esso assume il ruolo di parametro.

Il passaggio successivo, nonché l'ultimo, consiste nell'esprimere le incognite rimanenti in termini di z. Dalla seconda equazione isoliamo y

\begin{cases}x+y-2z=6\\ \\ -6y=-18-6z \ \ \ \to \ \ \ y=\dfrac{-6(3+z)}{-6}=3+z\\ \\ 0=0\end{cases}

dopodiché rimpiazziamo l'espressione trovata nella prima

\begin{cases}x+(3+z)-2z=6\\ \\ y=3+z\\ \\ 0=0\end{cases}

da cui, isolando x, otteniamo:

\begin{cases}x=3+z\\ \\ y=3+z\\ \\ 0=0\end{cases}

Ricapitolando: z è libera di variare nell'insieme dei numeri reali, mentre le incognite x\ \mbox{e} \ y sono vincolate dai valori che essa assume mediante le relazioni

x=3+z \ \ \ ; \ \ \ y=3+z

Ciò ci permette di concludere che il sistema è indeterminato, ossia ammette infinite soluzioni del tipo:

(x,y,z)=(3+z,3+z,z) \ \ \ \mbox{con} \ z\in\mathbb{R}



Studiamo infine il sistema avvalendoci del metodo di Cramer, il più meccanico dei quattro metodi.

Per prima cosa associamo al sistema espresso in forma normale

\begin{cases}x+y-2z=6\\ \\ x+3y-4z=12\\ \\ x-2y+z=-3\end{cases}

la cosiddetta matrice dei coefficienti, cioè quella matrice le cui colonne sono formate dai coefficienti delle incognite: più esplicitamente nella prima colonna disporremo i coefficienti di x, nella seconda quelli di y e nella terza i coefficienti di z

A=\begin{bmatrix}1&1&-2\\ 1&3&-4\\ 1&-2&1\end{bmatrix}

Calcoliamo il suo determinante, indicato con \mbox{D} mediante la regola di Sarrus

\\ \mbox{D}=\begin{vmatrix}1&1&-2\\ 1&3&-4\\ 1&-2&1\end{vmatrix}= \\ \\ \\ =1\cdot 3\cdot 1 +1\cdot(-4)\cdot 1+(-2)\cdot 1\cdot (-2)-[(-2)\cdot 3\cdot 1+1\cdot 1\cdot 1+1\cdot (-4)\cdot(-2)]= \\ \\ =3-4+4-[-6+1+8]=3-3=0

Il determinante della matrice dei coefficienti è zero, pertanto il sistema lineare è indeterminato oppure impossibile. A differenza di quanto succede con i sistemi lineari di due equazioni in due incognite, e senza un'ulteriore indagine che richiede il concetto di rango di una matrice, il metodo di Cramer non è risolutivo: non permette di dedurre né l'indeterminazione né l'impossibilità del sistema, l'unica certezza è che il sistema non è determinato.
Ringraziano: SirChopin
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