Risoluzione di un sistema lineare 3x3 con metodo a scelta

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Risoluzione di un sistema lineare 3x3 con metodo a scelta #92368

avt
pdd
Punto
Sono alle prese con un esercizio sui sistemi di tre equazioni in tre incognite alquanto laborioso: mi viene chiesto infatti di utilizzare il metodo di sostituzione, il metodo del confronto, il metodo di riduzione e il metodo di Cramer per risolvere il medesimo sistema.

Studiare il seguente sistema lineare di tre equazioni in tre incognite utilizzando il metodo di sostituzione, del confronto, di riduzione e infine il metodo di Cramer.

\begin{cases}\dfrac{x}{3}+\dfrac{y}{2}-\dfrac{1-z}{6}=0\\ \\ \dfrac{x}{2}-y+z=\dfrac{2-x}{2}\\ \\ \dfrac{x}{3}+\dfrac{y}{24}=-\dfrac{6z+y}{24}\end{cases}

Grazie.
 
 

Risoluzione di un sistema lineare 3x3 con metodo a scelta #92375

avt
Omega
Amministratore
Consideriamo il sistema lineare di tre equazioni in tre incognite

\begin{cases}\dfrac{x}{3}+\dfrac{y}{2}-\dfrac{1-z}{6}=0\\ \\ \dfrac{x}{2}-y+z=\dfrac{2-x}{2}\\ \\ \dfrac{x}{3}+\dfrac{y}{24}=-\dfrac{6z+y}{24}\end{cases}

L'esercizio chiede esplicitamente di risolverlo con i quattro metodi che solitamente si affrontano alle scuole superiori, ma prima è necessario esprimerlo in forma normale e a coefficienti interi.

Per ogni equazione calcoleremo il minimo comune multiplo dei denominatori presenti

\begin{cases}\dfrac{2x+3y-(1-z)}{6}=0\\ \\ \dfrac{x-2y+2z}{2}=\dfrac{2-x}{2}\\ \\ \dfrac{8x+y}{24}=-\dfrac{6z+y}{24}\end{cases}

A questo punto cancelliamo i denominatori comuni

\begin{cases}2x+3y-1+z=0\\ \\ x-2y+2z=2-x \\ \\ 8x+y=-6z-y\end{cases}

dopodiché trasportiamo le incognite al primo membro e i termini noti al secondo prestando la massima attenzione ai segni

\begin{cases}2x+3y+z=1\\ \\ x+x-2y+2z=2 \\ \\ 8x+y+y+6z=0\end{cases}

da cui

\begin{cases}2x+3y+z=1\\ \\ 2x-2y+2z=2\\ \\ 8x+2y+6z=0\end{cases}

Sia nella seconda che nella terza equazione siamo autorizzati a dividere i due membri per 2, ottenendo così il sistema in forma normale:

\begin{cases}2x+3y+z=1\\ \\ x-y+z=1\\ \\ 4x+y+3z=0\end{cases}

Riassumendo: siamo partiti da un sistema lineare a coefficienti fratti, ma grazie ai passaggi algebrici, siamo stati in grado di determinare un altro sistema a esso equivalente i cui coefficienti sono numeri interi. Proprio perché sono equivalenti, ossia hanno il medesimo insieme soluzione, useremo le strategie risolutive sull'ultimo sistema: i calcoli saranno molto più agevoli.

Iniziamo con il metodo di sostituzione che prevede di isolare un'incognita - non importa quale - da una delle tre equazioni - non importa quale - in modo da ricavare un'espressione dipendente dalle restanti incognite. Tale espressione va poi sostituita nelle altre equazioni, in modo da eliminare l'incognita.

A titolo di esempio, isoliamo l'incognita z dalla prima equazione

\begin{cases}z=1-2x-3y\\ \\ x-y+z=1\\ \\ 4x+y+3z=0\end{cases}

e sostituiamo l'espressione ottenuta nelle altre equazioni

\begin{cases}z=1-2x-3y\\ \\ x-y+(1-2x-3y)=1\\ \\ 4x+y+3(1-2x-3y)=0\end{cases}

Lasciamo da parte la prima equazione e svolgiamo i conti nelle altre due

\begin{cases}z=1-2x-3y\\ \\ x-y+1-2x-3y=1\\ \\ 4x+y+3-6x-9y=0\end{cases}

da cui

\begin{cases}z=1-2x-3y\\ \\ -x-4y=0\\ \\ -2x-8y=-3\end{cases}

Dalla seconda equazione, esprimiamo x in termini di y

\begin{cases}z=1-2x-3y\\ \\ x=-4y\\ \\ -2x-8y=-3\end{cases}

e infine rimpiazziamo nell'ultima equazione

\begin{cases}z=1-2x-3y\\ \\ x=-4y\\ \\ -2(-4y)-8y=-3\end{cases}

Svolti i calcoli nella terza equazione ci riconduciamo a un'equazione senza incognite

\begin{cases}z=1-2x-3y\\ \\ x=-4y\\ \\ 0=-3\end{cases}

A causa dell'uguaglianza falsa 0=-3 l'intero sistema non ammette soluzioni ed è pertanto impossibile.



Proviamo a risolvere il sistema lineare

\begin{cases}2x+3y+z=1\\ \\ x-y+z=1\\ \\ 4x+y+3z=0\end{cases}

con il metodo del confronto, scegliendo di isolare la medesima incognita in tutte e tre le equazioni. La scelta dell'incognita è a nostra discrezione e non modifica l'insieme delle soluzioni.

A titolo di esempio, isoliamo z da tutte e tre le equazioni

\begin{cases}z=1-2x-3y\\ \\ z=1-x+y\\ \\ z=\dfrac{-4x-y}{3}\end{cases}

dopodiché confrontiamo sia la seconda che la terza equazione con la prima

\begin{cases}z=1-2x-3y\\ \\ 1-2x-3y=1-x+y\\ \\ 1-2x-3y=\dfrac{-4x-y}{3}\end{cases}

A questo punto lasciamo per il momento da parte la prima equazione e scriviamo in forma normale le rimanenti, trasportando le incognite al primo membro e i termini noti al secondo

\begin{cases}z=1-2x-3y\\ \\ -2x+x-3y-y=0\\ \\ 1-2x-3y-\dfrac{-4x-y}{3}=0\end{cases}

Per esprimere in forma normale la terza equazione bisogna determinare il minimo comune multiplo tra i denominatori

\begin{cases}z=1-2x-3y\\ \\ -x-4y=0\\ \\ \dfrac{3-6x-9y+4x+y}{3}=0\end{cases}

da cui, moltiplicando i due membri dell'ultima equazione per 3 e sommati tra loro i monomi simili, scriviamo il sistema equivalente

\begin{cases}z=1-2x-3y\\ \\ -x-4y=0\\ \\ -2x-8y=-3\end{cases}

A questo punto reiteriamo il procedimento concentrandoci esclusivamente sulle ultime due equazioni: abbiamo la possibilità di scegliere quale incognita isolare al primo membro da entrambe le equazioni. Isoliamo ad esempio x

\begin{cases}z=1-2x-3y\\ \\ x=-4y\\ \\ x=\dfrac{3-8y}{2}\end{cases}

e confrontiamo la seconda con la terza equazione, in questo modo ricaveremo un'equazione nella sola incognita y

\begin{cases}z=1-2x-3y\\ \\x=-4y\\ \\ -4y=\dfrac{3-8y}{2}\end{cases}

Moltiplichiamo i due membri dell'ultima equazione per 2 e infine trasportiamo i termini con l'incognita al primo membro e i termini noti al secondo

\begin{cases}z=1-2x-3y\\ \\ x=-4y\\ \\ -8y=3-8y \ \ \ \to \ \ \ 0=3\end{cases}

I calcoli ci hanno condotto all'uguaglianza 0=3 che è chiaramente impossibile, pertanto possiamo asserire che l'intero sistema non ammette soluzioni ed è dunque a sua volta impossibile.



Il metodo di Cramer è l'ultimo procedimento che applicheremo per studiare il sistema lineare

\begin{cases}2x+3y+z=1\\ \\ x-y+z=1\\ \\ 4x+y+3z=0\end{cases}

Per prima cosa considereremo la matrice dei coefficienti che indichiamo con A. In termini più espliciti, essa è la matrice che ha per prima colonna i coefficienti dell'incognita x, per seconda i coefficienti di y e per terza colonna i coefficienti dell'incognita z

A=\begin{bmatrix}2&3&1 \\ 1&-1&1\\ 4&1&3\end{bmatrix}

Il metodo risolutivo prevede di calcolare il determinante \mbox{D} associato alla matrice dei coefficienti e se esso è diverso da zero, il sistema è determinato, in caso contrario il sistema è indeterminato o impossibile.

Per calcolare \mbox{D}, possiamo avvalerci della regola di Sarrus mediante la quale scopriamo che il determinante è zero, infatti:

\\ \mbox{D}=\begin{vmatrix}2&3&1 \\ 1&-1&1\\ 4&1&3\end{vmatrix}=\\ \\ \\ =2\cdot(-1)\cdot 3+3\cdot 1\cdot 4+1\cdot 1 \cdot 1-[1\cdot(-1)\cdot 4+3\cdot 1 \cdot 3 +2\cdot 1\cdot 1]= \\ \\ =7-7=0

In accordo con la teoria, possiamo affermare che il sistema dato è indeterminato oppure impossibile.

Osserviamo che il metodo di Cramer non consente di caratterizzare ulteriormente un sistema di tre equazioni in tre incognite nel caso in cui il determinante della matrice dei coefficienti sia zero, senza interpellare il concetto di rango di una matrice: dobbiamo necessariamente servirci di uno degli altri metodi per accertarci dell'impossibilità o dell'indeterminatezza.

L'analisi è completa.
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