Equazione con due radici e radice dentro radice

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Equazione con due radici e radice dentro radice #92295

avt
TeneT
Punto
Non sono in grado di risolvere un'equazione irrazionale con tre radici quadrate, una delle quali è innestata nelle altre. Ho tentato di sfruttare a dovere le proprietà delle radici senza cavare nulla di buono.

Risolvere la seguente equazione irrazionale, esplicitando l'insieme delle sue soluzioni

\sqrt{3+x}=\sqrt{4-\sqrt{x+1}}

Grazie.
 
 

Equazione con due radici e radice dentro radice #92300

avt
Omega
Amministratore
Per calcolare le soluzioni dell'equazione irrazionale

\sqrt{3+x}=\sqrt{4-\sqrt{x+1}}

bisogna innanzitutto imporre le opportune condizioni di esistenza. Affinché le radici con indice pari siano ben poste, esse pretendono che il proprio radicando sia maggiore o al più uguale a zero, pertanto:

3+x\ge 0

è la condizione affinché sia ben posta la radice al primo membro.

x+1\ge 0

è la condizione relativa alla radice \sqrt{x+1} e infine

4-\sqrt{x+1}\ge 0

è il vincolo da imporre affinché esista la radice al secondo membro.

Le tre condizioni devono valere contemporaneamente, per questo motivo costituiscono il sistema di disequazioni

C.E.: \ \begin{cases}3+x\ge 0 \\ x+1\ge 0 \\ 4-\sqrt{x+1}\ge 0\end{cases}

Invece di esplicitare l'insieme soluzione del sistema, lasciamo i vincoli così come sono e andiamo alla ricerca dei valori che si candidano come soluzione: se verificheranno le tre relazioni del sistema, sono effettivamente soluzioni dell'equazione irrazionale, altrimenti sono falsi positivi.

Eleviamo al quadrato i due membri così da sbarazzarci delle radici quadrate esterne

\\ (\sqrt{3+x})^2=\left(\sqrt{4-\sqrt{x+1}}\right)^2 \\ \\ 3+x=4-\sqrt{x+1}

dopodiché ci riconduciamo alla forma normale isolando il radicale a sinistra dell'uguale

\sqrt{x+1}=1-x

Affinché l'uguaglianza possa sussistere, imponiamo la condizione di concordanza: la radice quadrata è positiva o nulla per definizione, dunque richiederemo che 1-x sia non negativo.

C.C.: \ 1-x\ge 0 \ \ \ \to \ \ \ x\le 1

Fatto ciò, eleviamo ancora una volta al quadrato così da cancellare la radice

(\sqrt{x+1})^2=(1-x)^2

Sviluppiamo il quadrato di binomio

x+1=1-2x+x^2

e trasportiamo tutti i termini al primo membro

3x-x^2=0

Ci siamo ricondotti a un'equazione di secondo grado spuria che possiamo risolvere mediante raccoglimento totale.

Mettiamo in evidenza il fattore comune x

x(3-x)=0

e sfruttiamo la legge di annullamento del prodotto che ci autorizza a considerare le equazioni

x=0 \ \ \ , \ \ \ 3-x=0

da cui otteniamo

x=0 \ \ \ ,\ \ \ x=3

I valori ottenuti si candidano come soluzione dell'equazione irrazionale, però devono sottostare a tutti i vincoli che abbiamo imposto durante la risoluzione.

Sostituiamo 0 al posto di x nelle condizioni di esistenza

C.E.: \ \begin{cases}3+0\ge 0 \\ 0+1\ge 0 \\ 4-\sqrt{0+1}\ge 0\end{cases}\ \ \ \to \ \ \ \begin{cases}3\ge 0\\ 1\ge 0 \\ 3\ge 0\end{cases}

e osserviamo che tutte le relazioni sono soddisfatte. Inoltre x=0 rispetta la condizione di concordanza x\le 1, dunque esso è soluzione dell'equazione irrazionale.

Se sostituiamo 3 al posto di x ricaviamo

C.E.: \ \begin{cases}3+3\ge 0 \\ 3+1\ge 0 \\ 4-\sqrt{3+1}\ge 0\end{cases}\ \ \ \to \ \ \ \begin{cases}6\ge 0\\ 4\ge 0 \\ 2\ge 0\end{cases}

da cui comprendiamo che le condizioni di esistenza sono verificate. D'altro canto x=3 non rispetta il vincolo dettato dalla condizione di concordanza (x\le 1), di conseguenza non può essere accettato come soluzione.

Riassumendo:

\sqrt{3+x}=\sqrt{4-\sqrt{x+1}}

ammette una e una sola soluzione, ossia x=0, pertanto il suo insieme soluzione è:

S=\left\{0\right\}

Abbiamo finito.
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Os