Equazione con due radici e radice dentro radice

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Equazione con due radici e radice dentro radice #92295

avt
TeneT
Punto
Non sono in grado di risolvere un'equazione irrazionale con tre radici quadrate, una delle quali è innestata nelle altre. Ho tentato di sfruttare a dovere le proprietà delle radici senza cavare nulla di buono.

Risolvere la seguente equazione irrazionale, esplicitando l'insieme delle sue soluzioni

√(3+x) = √(4-√(x+1))

Grazie.
 
 

Equazione con due radici e radice dentro radice #92300

avt
Omega
Amministratore
Per calcolare le soluzioni dell'equazione irrazionale

√(3+x) = √(4-√(x+1))

bisogna innanzitutto imporre le opportune condizioni di esistenza. Affinché le radici con indice pari siano ben poste, esse pretendono che il proprio radicando sia maggiore o al più uguale a zero, pertanto:

3+x ≥ 0

è la condizione affinché sia ben posta la radice al primo membro.

x+1 ≥ 0

è la condizione relativa alla radice √(x+1) e infine

4-√(x+1) ≥ 0

è il vincolo da imporre affinché esista la radice al secondo membro.

Le tre condizioni devono valere contemporaneamente, per questo motivo costituiscono il sistema di disequazioni

C.E.: 3+x ≥ 0 ; x+1 ≥ 0 ; 4-√(x+1) ≥ 0

Invece di esplicitare l'insieme soluzione del sistema, lasciamo i vincoli così come sono e andiamo alla ricerca dei valori che si candidano come soluzione: se verificheranno le tre relazioni del sistema, sono effettivamente soluzioni dell'equazione irrazionale, altrimenti sono falsi positivi.

Eleviamo al quadrato i due membri così da sbarazzarci delle radici quadrate esterne

(√(3+x))^2 = (√(4-√(x+1)))^2 ; 3+x = 4-√(x+1)

dopodiché ci riconduciamo alla forma normale isolando il radicale a sinistra dell'uguale

√(x+1) = 1-x

Affinché l'uguaglianza possa sussistere, imponiamo la condizione di concordanza: la radice quadrata è positiva o nulla per definizione, dunque richiederemo che 1-x sia non negativo.

C.C.: 1-x ≥ 0 → x ≤ 1

Fatto ciò, eleviamo ancora una volta al quadrato così da cancellare la radice

(√(x+1))^2 = (1-x)^2

Sviluppiamo il quadrato di binomio

x+1 = 1-2x+x^2

e trasportiamo tutti i termini al primo membro

3x-x^2 = 0

Ci siamo ricondotti a un'equazione di secondo grado spuria che possiamo risolvere mediante raccoglimento totale.

Mettiamo in evidenza il fattore comune x

x(3-x) = 0

e sfruttiamo la legge di annullamento del prodotto che ci autorizza a considerare le equazioni

x = 0 , 3-x = 0

da cui otteniamo

x = 0 , x = 3

I valori ottenuti si candidano come soluzione dell'equazione irrazionale, però devono sottostare a tutti i vincoli che abbiamo imposto durante la risoluzione.

Sostituiamo 0 al posto di x nelle condizioni di esistenza

C.E.: 3+0 ≥ 0 ; 0+1 ≥ 0 ; 4-√(0+1) ≥ 0 → 3 ≥ 0 ; 1 ≥ 0 ; 3 ≥ 0

e osserviamo che tutte le relazioni sono soddisfatte. Inoltre x = 0 rispetta la condizione di concordanza x ≤ 1, dunque esso è soluzione dell'equazione irrazionale.

Se sostituiamo 3 al posto di x ricaviamo

C.E.: 3+3 ≥ 0 ; 3+1 ≥ 0 ; 4-√(3+1) ≥ 0 → 6 ≥ 0 ; 4 ≥ 0 ; 2 ≥ 0

da cui comprendiamo che le condizioni di esistenza sono verificate. D'altro canto x = 3 non rispetta il vincolo dettato dalla condizione di concordanza (x ≤ 1), di conseguenza non può essere accettato come soluzione.

Riassumendo:

√(3+x) = √(4-√(x+1))

ammette una e una sola soluzione, ossia x = 0, pertanto il suo insieme soluzione è:

S = 0

Abbiamo finito.
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Os