Equazione irrazionale con radice di radice

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Equazione irrazionale con radice di radice #91539

avt
ico_m
Punto
Mi è capitata un'equazione irrazionale a coefficienti fratti nella quale compaiono una radice cubica e una radice quadrata una dentro l'altra. Ho tentato di risolverla senza però ottenere le stesse soluzioni del libro, ecco perché chiedo il vostro aiuto.

Determinare l'insieme delle soluzioni associato all'equazione irrazionale

\sqrt[3]{\frac{3x}{4}+\frac{\sqrt{3+x}}{8}}=1

Grazie.
 
 

Equazione irrazionale con radice di radice #91542

avt
Galois
Coamministratore
Consideriamo l'equazione irrazionale

\sqrt[3]{\frac{3x}{4}+\frac{\sqrt{3+x}}{8}}=1

Il nostro intento consiste nel determinare l'insieme dei valori per i quali l'uguaglianza è soddisfatta. Prima di avventurarci nei calcoli però è necessario effettuare alcune considerazioni preliminari sulla forma in cui l'equazione si presenta.

Possiamo notare infatti che al primo membro sono presenti due radici innestate una dentro l'altra: la radice cubica - esterna - e la radice quadrata - interna.



Affinché l'equazione sia ben posta, dobbiamo imporre le opportune condizioni di esistenza: in maniera più esplicita, la radice quadrata richiede che il proprio radicando sia maggiore o al più uguale a zero.

Otteniamo quindi il vincolo

C.E.:\ 3+x\ge 0 \ \ \ \to \ \ \ x\ge -3

Una volta determinato l'insieme di esistenza delle soluzioni, possiamo svolgere i passaggi algebrici che ci condurranno alle eventuali soluzioni.

Per sbarazzarci della radice cubica, eleviamo al cubo sia a destra che a sinistra

\\ \left(\sqrt[3]{\frac{3x}{4}+\frac{\sqrt{3+x}}{8}}\right)^3=1 \\ \\ \\ \frac{3x}{4}+\frac{\sqrt{3+x}}{8}=1

dopodiché calcoliamo il minimo comune multiplo tra i denominatori

\frac{6x+\sqrt{3+x}}{8}=\frac{8}{8}

Moltiplichiamo per 8 a destra e a sinistra così da ricondurci all'equazione equivalente

6x+\sqrt{3+x}=8

e scriviamola in forma normale isolando la radice quadrata al primo membro

\sqrt{3+x}=8-6x

Oltre alle già espresse condizioni di esistenza, dobbiamo imporre la cosiddetta condizione di concordanza, ricordiamo infatti che per definizione le radici con indice pari sono necessariamente positive o al più nulle, pertanto dobbiamo richiedere che anche il secondo membro lo sia, altrimenti l'uguaglianza non può sussistere.

C.C.:\ 8-6x\ge 0 \ \ \ \to \ \ \ x\le \frac{4}{3}

Adesso possiamo seguire la strategia standard che consiste nell'elevare al quadrato i due membri così da eliminare la radice quadrata

\\ (\sqrt{3+x})^2=(8-6x)^2 \\ \\ 3+x=(8-6x)^2

Sviluppiamo il quadrato di binomio al secondo membro

3+x=64-96x+36x^2

portiamo tutti i termini al primo e sommiamo tra loro i monomi simili

-36x^2+97x-61=0

da cui cambiando i segni

36x^2-97x+61=0

Ci siamo ricondotti a un'equazione di secondo grado con coefficienti

a=36 \ \ \ , \ \ \ b=-97 \ \ \ , \ \ \ c=61

Per determinarne le soluzioni, calcoliamo il discriminante associato mediante la formula

\Delta =b^2-4ac=(-97)^2-4\cdot 36\cdot 61=625

la cui positività garantisce che l'equazione di secondo grado ammette due soluzioni reali e distinte

\\ x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{97\pm \sqrt{625}}{72}= \\ \\ \\ =\frac{97\pm25}{72}=\begin{cases}\frac{97-25}{72}=\frac{72}{72}=1=x_1 \\ \\ \frac{97+25}{72}=\frac{122}{72}=\frac{61}{36}=x_2\end{cases}

I due valori si candidano come soluzione dell'equazione irrazionale, ma per esserlo devono necessariamente soddisfare sia la condizione di esistenza, sia la condizione di concordanza.

Per quanto concerne x_1=1 esso sottostà sia al vincolo x\ge -3 \ (C.E.), sia al vincolo x\le\frac{4}{3} \ (C.C.) dunque è a tutti gli effetti soluzione dell'equazione.

x=\frac{61}{32}, invece, soddisfa sì la condizione di esistenza, ma non quella di concordanza, di conseguenza tale valore non è soluzione dell'equazione iniziale.

Riassumendo:

\sqrt[3]{\frac{3x}{4}+\frac{\sqrt{3+x}}{8}}=1

è soddisfatta per x=1 e il suo insieme delle soluzioni è

S=\left\{1\right\}

Abbiamo finito.
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Os