Esercizio cubo di binomio con 3 lettere

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Esercizio cubo di binomio con 3 lettere #91503

avt
FAQ
Punto
Mi serve una mano per sviluppare il cubo di un binomio in cui compaiono diverse lettere con esponenti diversi. Il mio insegnante mi ha consigliato di usare il prodotto notevole insieme alla regola sulla potenza di una potenza, però non ne sono capace.

Calcolare il seguente cubo di binomio

(2a^2b^2+ab^3c)^3

Grazie mille.
 
 

Esercizio cubo di binomio con 3 lettere #91572

avt
MathLover22
Cerchio
L'esercizio ci chiede di determinare lo sviluppo del cubo di binomio

(2a^2b^2+ab^3c)^3

e per portare a termine il nostro compito, possiamo usare l'omonimo prodotto notevole

(A+B)^3=A^3+3A^2B+3AB^2+B^3

che consente di esprimere il cubo di una somma come la somma tra il cubo del primo addendo, il triplo prodotto tra il quadrato del primo addendo e il secondo, il triplo prodotto tra il primo per il quadrato del secondo e il cubo del secondo addendo.

Nel caso in esame il primo e il secondo addendo che formano la base del cubo sono rispettivamente

2a^2b^2\ \ \ \mbox{e} \ \ \ ab^3c

pertanto la regola sul cubo di binomio consente di scrivere la seguente uguaglianza:

\\ (2a^2b^2+ab^3c)^3= \\ \\ =(2a^2b^2)^3+3\cdot (2a^2b^2)^2\cdot (ab^3c)+3\cdot (2a^2b^2)\cdot(ab^3c)^2+(ab^3c)^3=

Semplifichiamo l'espressione sfruttando innanzitutto la proprietà sulla potenza di un prodotto che permette di distribuire l'esponente a ciascun fattore della base

=2^3\cdot (a^2)^3\cdot (b^2)^3+3\cdot 2^2\cdot (a^2)^2(b^2)^2\cdot (ab^3c)+3\cdot (2a^2b^2)\cdot a^2\cdot (b^3)^2\cdot c^2+a^3\cdot (b^3)^3c^3=

Eseguiamo le operazioni tra i coefficienti numerici

=8\cdot (a^2)^3\cdot (b^2)^3+12\cdot (a^2)^2(b^2)^2\cdot (ab^3c)+6\cdot a^2b^2\cdot a^2\cdot (b^3)^2\cdot c^2+a^3\cdot (b^3)^3c^3=

calcoliamo le potenze di potenze

\\ =8a^{2\cdot 3}b^{2\cdot 3}+12a^{2\cdot 2}b^{2\cdot 2}\cdot (ab^3c)+6a^2b^2\cdot a^2\cdot b^{2\cdot 3}\cdot c^2+a^3b^{3\cdot 3}c^3= \\ \\ =8a^6b^6+12a^4b^4\cdot (ab^3c)+6a^2b^2\cdot a^2 b^{6}c^2+a^3b^9c^3=

e infine eseguiamo le operazioni tra i monomi ottenuti

=8a^6b^6+12a^5b^7c+6a^4b^8c^2+a^3b^9c^3

Possiamo concludere che il cubo del binomio 2a^2b^2+ab^3c è:

(2a^2b^2+ab^3c)^3=8a^6b^6+12a^5b^7c+6a^4b^8c^2+a^3b^9c^3

L'esercizio è concluso!
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Os