Equazione trigonometrica con cotangente di un angolo composto

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Equazione trigonometrica con cotangente di un angolo composto #9138

avt
luciaaa
Cerchio
Mi è capitato un esercizio sulle equazioni goniometriche che non sono in grado di svolgere per via della cotangente: non sono abituato a risolvere equazioni del genere.

Calcolare le soluzioni della seguente equazione goniometrica

\cot\left(3x+\frac{\pi}{2}\right)=\sqrt{3}

Grazie.
 
 

Equazione trigonometrica con cotangente di un angolo composto #9221

avt
Ifrit
Amministratore
Prima di occuparci dell'equazione goniometrica

\cot\left(3x+\frac{\pi}{2}\right)=\sqrt{3}

bisogna imporre le condizioni di esistenza richieste dalla cotangente.

Affinché la cotangente di un angolo sia ben definita, l'angolo dev'essere diverso da h\pi dove h è un numero intero. Nel nostro caso, scriviamo:

C.E. \ : \ 3x+\frac{\pi}{2}\ne h\pi \ \ \ \to \ \ \ x\ne -\frac{\pi}{6}+\frac{h\pi}{3}

con h\in\mathbb{Z}.

Torniamo all'equazione

\cot\left(3x+\frac{\pi}{2}\right)=\sqrt{3}

Per risolverla, procediamo con la sostituzione t=3x+\frac{\pi}{2}, mediante la quale essa diventa

\cot\left(t\right)=\sqrt{3}

le cui soluzioni si ottengono aiutandoci con la circonferenza goniometrica e la tabella dei valori noti della cotangente, mediante le quali scriviamo:

t=\frac{\pi}{6}+k\pi

Nota: il termine k\pi è una diretta conseguenza della periodicità della cotangente, il cui periodo è T=\pi.

Sia chiaro che non abbiamo ancora finito! Dobbiamo infatti ripristinare l'incognita x tenendo a mente la sostituzione fatta. Poiché t=3x+\frac{\pi}{2}, la relazione

t=\frac{\pi}{6}+k\pi

si trasforma nell'equazione di primo grado

3x+\frac{\pi}{2}=\frac{\pi}{6}+k\pi

da cui, isolando al primo membro x, otteniamo:

3x=\frac{\pi}{6}-\frac{\pi}{2}+k\pi \ \ \ \to \ \ \ x=-\frac{\pi}{9}+\frac{k\pi}{3}

al variare di k nell'insieme dei numeri interi.
Ringraziano: Omega, Pi Greco
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Os