Espressione con cubo di binomio e somma per differenza

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Espressione con cubo di binomio e somma per differenza #90990

avt
DB91
Punto
Dovrei semplificare un'espressione letterale usando il prodotto notevole che mi permette di sviluppare il cubo di un binomio. Problema: la base del cubo non è un binomio, bensì il prodotto della somma di due monomi per la loro differenza. Come mi devo comportare in questa circostanza?

Usare i prodotti notevoli per semplificare la seguente espressione:

[(a^2+b)(a^2-b)]^3

Grazie.
 
 

Espressione con cubo di binomio e somma per differenza #90993

avt
Omega
Amministratore
Consideriamo l'espressione letterale

[(a^2+b)(a^2-b)]^3

e poniamoci l'obiettivo di semplificarla usando gli opportuni prodotti notevoli, in particolare:

- la regola sul prodotto tra la somma e la differenza di due monomi:

(A+B)(A-B)=A^2-B^2

- la regola relativa allo sviluppo del cubo di un binomio:

(A+B)^3=A^3+3A^2B+3AB^2+B^3

La regola sul prodotto della somma per la differenza consente di esprimere la base (a^2+b)(a^2-b) come la differenza tra il quadrato del primo termine e il quadrato del secondo:

(a^2+b)(a^2-b)=(a^2)^2-b^2=

e una volta svolta la potenza di potenza, ricaviamo:

=a^{2\cdot 2}-b^2= a^{4}-b^2

Siamo autorizzati, pertanto, a riscrivere l'espressione iniziale come segue:

[(a^2+b)(a^2-b)]^3=(a^4-b^2)^3=

riconducendoci al cubo del binomio a^4-b^2 che possiamo esplicitare con la regola omonima.

=(a^4)^3+3\cdot (a^4)^2(-b^2)+3\cdot (a^4)\cdot (-b^2)^2+(-b^2)^3=

Sviluppiamo le potenze di potenze e i vari prodotti, sfruttando la regola dei segni per attribuire il segno corretto a ogni addendo:

\\ =a^{4\cdot 3}-3(a^{4\cdot 2})b^2+3a^{4}b^{2\cdot 2}-b^{2\cdot 3}= \\ \\ = a^{12}-3a^{8}b^2+3a^{4}b^4-b^{6}

Ecco fatto.
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Os