Scomporre una differenza di quadrati con frazioni

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Scomporre una differenza di quadrati con frazioni #9098

avt
ild0tt0re
Cerchio
Mi è capitato un esercizio sulle scomposizioni di polinomi in cui bisogna applicare un prodotto notevole ben preciso: la regola di scomposizione relativa alla differenza di quadrati. Purtroppo il polinomio in questione è a coefficienti fratti e io non so proprio come gestirli

Scomporre il seguente polinomio avvalendosi della regola relativa alla differenza di quadrati

\frac{4x^2}{9}-\frac{y^2}{16}

Grazie.
 
 

Scomporre una differenza di quadrati con frazioni #9104

avt
Ifrit
Amministratore
Consideriamo il binomio

\frac{4x^2}{9}-\frac{y^2}{16}

Per poter determinare la scomposizione del polinomio possiamo avvalerci di un prodotto notevole. Più precisamente, interviene la regola sulla differenza di quadrati

A^2-B^2=(A+B)(A-B)

che consente di esprimere la differenza dei quadrati dei due termini come prodotto tra la somma tra il primo termine e il secondo per la loro differenza. In maniera esplicita, bisogna individuare i quadrati e determinare le loro basi che ricopriranno il ruolo di A\ \mbox{e} \ B nella formula di scomposizione. In questa circostanza:

- la base del primo quadrato è \frac{2x}{3}, infatti le proprietà delle potenze consentono di scrivere le seguenti uguaglianze:

\left(\frac{2x}{3}\right)^2=\frac{(2x)^2}{3^2}=\frac{4x^2}{9}

- la base del secondo quadrato è \frac{y}{4}, infatti:

\left(\frac{y}{4}\right)^2=\frac{y^2}{16}

In base alla regola, la scomposizione del polinomio dato è:

\frac{4x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=\left(\frac{2x}{3}+\frac{y}{4}\right)\left(\frac{2x}{3}-\frac{y}{4}\right)

Abbiamo finito.
Ringraziano: Pi Greco, LittleMar
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Os