Condizioni d'esistenza dei radicali

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Condizioni d'esistenza dei radicali #9074

avt
Lucabig
Frattale
Ciao, domani c'è il compito di Mate, l'ultimo argomento spiegato dal prof sono le condizioni d'esistenza dei radicali che io non ho ben capito.

Pertanto volevo chiedervi la procedura per determinare quando un radicale esiste o meno, mi spiegate come si sviluppa? Grazie mille!

Il radicale è il seguente:

\sqrt\frac{2a(a-3)}{a^2+3}
Ringraziano: delitto.e.castigo, sebaclane
 
 

Re: Condizioni d'esistenza dei radicali #9105

avt
LittleMar
Design
Ciao Lucabig emt

Allora per trovare le condizioni di esistenza di un radicale bisogna prendere in considerazione l'indice della radice.

Nel caso in cui l'indice della radice sia pari (come nel tuo caso), le condizioni di esistenza sono formate dai valori che rendono non nullo il radicando.
In questo caso bisogna quindi porre l'argomento della radice \geq0.
Nel tuo caso, dal momento che l'argomento è una frazione, devi porre il numeratore \geq0, e il denominatore >0.

Nel caso in cui invece l'indice della radice sia dispari, le condizioni di esistenza dell'argomento sono tutto \mathbb{R}.
Se l'argomento della radice è una frazione, da \mathbb{R} bisogna eliminare il valore che annulla il denominatore ad esempio:

\sqrt[3]{\frac{x-2}{x+7}}

la soluzione sarebbe tutto \mathbb{R}, ma in questo caso bisogna analizzare il denominatore ovvero

x+7=0

x=-7

Da \mathbb{R}, si deve togliere il valore che annulla il denominatore ovvero -7.

Le condizioni di esistenza sono quindi C.E \mathbb{R}-(-7), che si può anche scrivere come C.E x\ne-7.

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Ora risolviamo il tuo esercizio: \sqrt{\frac{2a(a-3)}{a^2+3}} emt

Essendo l'indice pari, pongo il numeratore 2a(a-3)\geq0 e il denominatore a^2+3>0 e risolvo le due disequazioni:

N: 2a(a-3)\geq0

2a(a-3)=0

2a=0\ \rightarrow\ a=0

a-3=0\ \rightarrow\ a=3

Avendo posto il numeratore \geq 0, la disequazione è verificata per i valori esterni ovvero a\leq0; a\geq3.

D: a^2+3>0, sempre positivo.

Per calcolare le condizioni di esistenza della frazione bisogna unire le soluzioni delle due disequazioni


N:++++++++++++(0)- - - - - - - -(3)+++++++++++++
D:++++++++++++(0)+++++++++(3)+++++++++++++

tot:+++++++++++++++ - - - - - - - - +++++++++++++++

Essendo il simbolo della disequazione \geq, prendo in considerazione le parti con il +.

Le condizioni di esistenza della radice sono quindi C.E.: (x\leq0;x\geq3)

Ecco fatto! emt
Ringraziano: Omega, Ifrit, Lucabig, delitto.e.castigo

Re: Condizioni d'esistenza dei radicali #9106

avt
21zuclo
Frattale
devi discutere quello che c'è all'interno della radice cioè

\frac{2a(a-3)}{a^2+3}\geq0

e ora risolvi la disequazione, ti dico già che il denominatore è sempre vero, ma andiamo con ordine

Numeratore
2a(a-3)\geq0 \rightarrow a\leq0 \vee a\geq3

Denominatore

a^2+3>0 \rightarrow \forall a\in \mathbb{R}

per cui le uniche soluzioni e che sono le C.E. sono quelle del denominatore cioè a\leq0 \vee a\geq3
Ringraziano: Omega, LittleMar, Ifrit, Lucabig

Re: Condizioni d'esistenza dei radicali #9109

avt
Lucabig
Frattale
Intanto grazie a tutti e due. Siete stati gentilissimi.

Non ho capito alla fine LittleMar, quando vai a posizionare i segni + e -, come fai a decidere che lì va il + e lì il meno?

Re: Condizioni d'esistenza dei radicali #9110

avt
LittleMar
Design
Dipende tutto dai segni delle soluzioni.
Metti il + dove la soluzione è verificata e il - dove non lo è.

Ad esempio nel nostro caso, per il numeratore dato che le soluzioni sono a\geq0 e a\leq3, metti il + per a\geq0 e per a\leq3, mentre nella parte centrale metti il -

Per il denominatore invece, essendo sempre verificato per tutto \mathbb{R}, metto tutti i +.

Infine per unire le soluzioni basta usare la regola dei segni, ovvero

+ per - = -

+ per + = +

Spero che ora sia tutto chiaro emt , ma per qualsiasi cosa chiedi pure emt
Ringraziano: Omega, Lucabig
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Os