Esercizio su differenza di cubi con termine binomio

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Esercizio su differenza di cubi con termine binomio #9071

avt
luciaaa
Cerchio
Dovrei scomporre un polinomio in fattori irriducibili applicando la regola di scomposizione sulla differenza di cubi, solo che non riesco a riconoscere effettivamente quali sono le basi dei cubi.

27a^3-(a-4b)^3
 
 

Esercizio su differenza di cubi con termine binomio #9206

avt
nando
Frattale
Dobbiamo scomporre il polinomio

27a^3-(a-4b)^3

avvalendoci della regola di scomposizione relativa alla differenza di cubi

A^3-B^3=(A-B)(A^2+AB+B^2)

dove A \ \mbox{e}\ B sono le basi delle potenze terze.

L'intento è pertanto quello di riconoscere chi sono le basi delle potenze terze e in seguito sfruttare la regola. In virtù delle proprietà delle potenze si ha:

27a^3=3^3a^3=(3a)^3

Da ciò ricaviamo la base del primo cubo, ossia A=3a. La base del secono cubo è invece B=a-4b e grazie alla regola sulla scomposizione di una differenza di cubi giungiamo velocemente alla soluzione dell'esercizio

27a^3-(a-4b)^3=(3a)^3-(a-4b)^3=(3a-(a-4b))\left((3a)^2+3a\cdot (a-4b)+(a-4b)^2\right)=

Sviluppiamo il quadrati di binomio e sommiamo tra loro i termini simili

\\ =(3a-a-4b)(9a^2+3a^2-12ab+a^2+16b^2-8ab)= \\ \\ =(2a-4b)(13a^2-20 ab+16 b^2)=

Volendo si può raccogliere totalmente il fattore comune 2 nella prima coppia di parentesi tonde

=2(a-2b)(13a^2-20ab+16b^2)

Ecco fatto!
Ringraziano: Omega, Pi Greco, frank094, Ifrit
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Os