Prima di svolgere qualsiasi passaggio algebrico sull'equazione goniometrica

occorre imporre le condizioni di esistenza della tangente. Ricordiamo che la tangente di un angolo è ben definita nel momento in cui l'angolo è diverso da
, al variare di
nell'insieme dei numeri interi, ossia:

con
.
Determinato l'insieme di esistenza delle soluzioni, possiamo occuparci dell'equazione:

che, operata la sostituzione
, si tramuta nell'equazione elementare

Purtroppo
non è un valore noto della tangente, pertanto sarà necessario interpellare l'arcotangente per esplicitare le soluzioni:

Attenzione, dobbiamo ripristinare l'incognita
tenendo conto della sostituzione

mediante la quale la relazione

si tramuta nell'equazione di primo grado

Per risolverla, moltiplichiamo tutti i termini per 2

dopodiché isoliamo l'incognita al primo membro, trasportando
al secondo:

al variare di
nell'insieme dei numeri interi.
Possiamo finalmente concludere che le soluzioni dell'equazione goniometrica

sono:

Ecco fatto!