Equazione goniometrica con tangente di un angolo composto

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#9069
avt
luciaaa
Cerchio

Tra i numerosi esercizi sulle equazioni goniometriche che mi sono ritrovato, me ne è capitata una con la tangente che non sono in grado di risolvere. Il testo suggerisce di usare una sostituzione per ricondurla a un'equazione elementare, ma poi? Cosa devo fare?

Usare un'opportuna sostituzione per determinare le soluzioni della seguente equazione goniometrica:

tan((x)/(2)+(3π)/(2)) = −(1)/(2)

Grazie mille.

#9237
avt
Amministratore

Prima di svolgere qualsiasi passaggio algebrico sull'equazione goniometrica

tan((x)/(2)+(3π)/(2)) = −(1)/(2)

occorre imporre le condizioni di esistenza della tangente. Ricordiamo che la tangente di un angolo è ben definita nel momento in cui l'angolo è diverso da (π)/(2)+hπ, al variare di h nell'insieme dei numeri interi, ossia:

C.E. : (x)/(2)+(3π)/(2) ne (π)/(2)+hπ → x ne−2π+2hπ

con h∈Z.

Determinato l'insieme di esistenza delle soluzioni, possiamo occuparci dell'equazione:

tan((x)/(2)+(3π)/(2)) = −(1)/(2)

che, operata la sostituzione t = (x)/(2)+(3π)/(2), si tramuta nell'equazione elementare

tan(t) = −(1)/(2)

Purtroppo −(1)/(2) non è un valore noto della tangente, pertanto sarà necessario interpellare l'arcotangente per esplicitare le soluzioni:

t = 2π−arctan((1)/(2))+kπ con k∈Z

Attenzione, dobbiamo ripristinare l'incognita x tenendo conto della sostituzione

t = (x)/(2)+(3π)/(2)

mediante la quale la relazione

t = 2π−arctan((1)/(2))+kπ

si tramuta nell'equazione di primo grado

(x)/(2)+(3π)/(2) = 2π−arctan((1)/(2))+kπ

Per risolverla, moltiplichiamo tutti i termini per 2

x+3π = 4π−2arctan((1)/(2))+2kπ

dopodiché isoliamo l'incognita al primo membro, trasportando 3π al secondo:

x = 4π−3π−2arctan((1)/(2))+2kπ → x = π−2arctan((1)/(2))+2kπ

al variare di k nell'insieme dei numeri interi.

Possiamo finalmente concludere che le soluzioni dell'equazione goniometrica

tan((x)/(2)+(3π)/(2)) = −(1)/(2)

sono:

x = π−2arctan((1)/(2))+2kπ con k∈Z

Ecco fatto!

Ringraziano: Omega, Pi Greco, LittleMar, Ifrit
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