Equazione goniometrica con tangente di un angolo composto

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Equazione goniometrica con tangente di un angolo composto #9069

avt
luciaaa
Cerchio
Tra i numerosi esercizi sulle equazioni goniometriche che mi sono ritrovato, me ne è capitata una con la tangente che non sono in grado di risolvere. Il testo suggerisce di usare una sostituzione per ricondurla a un'equazione elementare, ma poi? Cosa devo fare?

Usare un'opportuna sostituzione per determinare le soluzioni della seguente equazione goniometrica:

\tan\left(\frac{x}{2}+\frac{3\pi}{2}\right)=-\frac{1}{2}

Grazie mille.
 
 

Equazione goniometrica con tangente di un angolo composto #9237

avt
Ifrit
Ambasciatore
Prima di svolgere qualsiasi passaggio algebrico sull'equazione goniometrica

\tan\left(\frac{x}{2}+\frac{3\pi}{2}\right)=-\frac{1}{2}

occorre imporre le condizioni di esistenza della tangente. Ricordiamo che la tangente di un angolo è ben definita nel momento in cui l'angolo è diverso da \frac{\pi}{2}+h\pi, al variare di h nell'insieme dei numeri interi, ossia:

C.E.\ :\ \frac{x}{2}+\frac{3\pi}{2}\ne \frac{\pi}{2}+h\pi \ \ \ \to \ \ \ x\ne -2\pi+2h\pi

con h\in\mathbb{Z}.

Determinato l'insieme di esistenza delle soluzioni, possiamo occuparci dell'equazione:

\tan\left(\frac{x}{2}+\frac{3\pi}{2}\right)=-\frac{1}{2}

che, operata la sostituzione t=\frac{x}{2}+\frac{3\pi}{2}, si tramuta nell'equazione elementare

\tan(t)=-\frac{1}{2}

Purtroppo -\frac{1}{2} non è un valore noto della tangente, pertanto sarà necessario interpellare l'arcotangente per esplicitare le soluzioni:

t=2\pi-\arctan\left(\frac{1}{2}\right)+k\pi \ \ \ \mbox{con} \ k\in\mathbb{Z}

Attenzione, dobbiamo ripristinare l'incognita x tenendo conto della sostituzione

t=\frac{x}{2}+\frac{3\pi}{2}

mediante la quale la relazione

t=2\pi-\arctan\left(\frac{1}{2}\right)+k\pi

si tramuta nell'equazione di primo grado

\frac{x}{2}+\frac{3\pi}{2}=2\pi-\arctan\left(\frac{1}{2}\right)+k\pi

Per risolverla, moltiplichiamo tutti i termini per 2

x+3\pi=4\pi-2\arctan\left(\frac{1}{2}\right)+2k\pi

dopodiché isoliamo l'incognita al primo membro, trasportando 3\pi al secondo:

x=4\pi-3\pi-2\arctan\left(\frac{1}{2}\right)+2k\pi \ \ \ \to \ \ \ x=\pi-2\arctan\left(\frac{1}{2}\right)+2k\pi

al variare di k nell'insieme dei numeri interi.

Possiamo finalmente concludere che le soluzioni dell'equazione goniometrica

\tan\left(\frac{x}{2}+\frac{3\pi}{2}\right)=-\frac{1}{2}

sono:

x=\pi-2\arctan\left(\frac{1}{2}\right)+2k\pi\ \ \ \mbox{con} \ k\in\mathbb{Z}

Ecco fatto!
Ringraziano: Omega, Pi Greco, LittleMar, Ifrit
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Os