Equazione goniometrica con tangente di un angolo composto

Tra i numerosi esercizi sulle equazioni goniometriche che mi sono ritrovato, me ne è capitata una con la tangente che non sono in grado di risolvere. Il testo suggerisce di usare una sostituzione per ricondurla a un'equazione elementare, ma poi? Cosa devo fare?

Usare un'opportuna sostituzione per determinare le soluzioni della seguente equazione goniometrica:

Grazie mille.

Prima di svolgere qualsiasi passaggio algebrico sull'equazione goniometrica

occorre imporre le condizioni di esistenza della tangente. Ricordiamo che la tangente di un angolo è ben definita nel momento in cui l'angolo è diverso da , al variare di nell'insieme dei numeri interi, ossia:

con .

Determinato l'insieme di esistenza delle soluzioni, possiamo occuparci dell'equazione:

che, operata la sostituzione , si tramuta nell'equazione elementare

Purtroppo non è un valore noto della tangente, pertanto sarà necessario interpellare l'arcotangente per esplicitare le soluzioni:

Attenzione, dobbiamo ripristinare l'incognita tenendo conto della sostituzione

mediante la quale la relazione

si tramuta nell'equazione di primo grado

Per risolverla, moltiplichiamo tutti i termini per 2

dopodiché isoliamo l'incognita al primo membro, trasportando al secondo:

al variare di nell'insieme dei numeri interi.

Possiamo finalmente concludere che le soluzioni dell'equazione goniometrica

sono:

Ecco fatto!