Equazione con due radici e termine misto

Prima di postare leggi le regole del Forum. Puoi anche leggere le ultime discussioni.

Equazione con due radici e termine misto #90525

avt
Pazki
Punto
Avrei bisogno del vostro aiuto per risolvere un'equazione irrazionale in cui compaiono diversi radici quadrate. La richiesta è alquanto peculiare perché oltre alle due radici compaiono altri termini e inoltre l'esercizio suggerisce di controllare le soluzioni mediante verifica.

Risolvere la seguente equazione irrazionale controllando le eventuali soluzioni mediante verifica

\sqrt{(3x+1)^2-6x}=\sqrt{1-3x}+3x

Grazie.
 
 

Equazione con due radici e termine misto #90546

avt
Omega
Amministratore
L'esercizio chiede di calcolare le soluzioni dell'equazione irrazionale

\sqrt{(3x+1)^2-6x}=\sqrt{1-3x}+3x

senza imporre alcuna condizione preliminare - né condizioni di esistenza né condizioni di concordanza. In buona sostanza calcoleremo preliminarmente le candidate soluzioni, dopodiché sostituiremo al posto di x i valori ottenuti: se verificano l'uguaglianza sono a tutti gli effetti soluzioni, altrimenti verranno scartati.

Procediamo con i passaggi algebrici iniziando dallo sviluppo del quadrato di binomio

\sqrt{9x^2+6x+1-6x}=\sqrt{1-3x}+3x

Sommati i termini simili all'interno del radicando a sinistra otteniamo

\sqrt{9x^2+1}=\sqrt{1-3x}+3x

L'equazione è già espressa in forma normale: non ci resta che elevare al quadrato i due membri così da sbarazzarci della radice a sinistra

\\ (\sqrt{9x^2+1})^2=(\sqrt{1-3x}+3x)^2 \\ \\ 9x^2+1=(\sqrt{1-3x}+3x)^2

Sviluppiamo il quadrato al secondo membro avvalendoci della regola relativa al quadrato di binomio

9x^2+1=(\sqrt{1-3x})^2+2\cdot (3x)\cdot\sqrt{1-3x}+(3x)^2

da cui

9x^2+1=1-3x+6x\sqrt{1-3x}+9x^2

Una volta trasportati al primo membro tutti i termini e sommati tra loro i monomi simili, otteniamo

3x-6x\sqrt{1-3x}=0

Raccogliamo totalmente 3x

3x(1-2\sqrt{1-3x})=0

e sfruttiamo a dovere la legge di annullamento del prodotto che ci permette di considerare le seguenti equazioni

3x=0 \ \ \ ,\ \ \ 1-2\sqrt{1-3x}=0

Dalla prima ricaviamo immediatamente x=0, mentre la seconda richiede qualche passaggio algebrico in più.

1-2\sqrt{1-3x}=0

Scriviamo in forma normale l'equazione irrazionale isolando la radice quadrata al primo membro

\\ -2\sqrt{1-3x}=-1 \\ \\ \sqrt{1-3x}=\frac{1}{2}

dopodiché eleviamo al quadrato riconducendoci così a una semplice equazione di primo grado

1-3x=\frac{1}{4}

da cui

x=\frac{1}{4}

Abbiamo ottenuto quindi due candidate soluzioni

x=0 \ \ \ , \ \ \ x=\frac{1}{4}

ma affinché siano accettabili devono effettivamente soddisfare l'equazione iniziale.

Se x=0, l'equazione

\sqrt{(3x+1)^2-6x}=\sqrt{1-3x}+3x

diventa

\\ \sqrt{(3\cdot 0+1)^2-6\cdot 0}=\sqrt{1-3\cdot 0}+3\cdot 0 \ \  \ \to  \ \ \ 1=1

Deduciamo che x=0 è soluzione.

Se x=\frac{1}{4}, l'equazione diventa invece

\\ \sqrt{\left(3\cdot \frac{1}{4}+1\right)^2-6\cdot \frac{1}{4}}=\sqrt{1-3\cdot \frac{1}{4}}+3\cdot \frac{1}{4}\\ \\ \\ \sqrt{\left(\frac{7}{4}\right)^2-\frac{3}{2}}=\sqrt{\frac{1}{4}}+\frac{3}{4} \\ \\ \\ \sqrt{\frac{25}{16}}=\frac{1}{2}+\frac{3}{4}\\ \\ \\ \frac{5}{4}=\frac{5}{4}

Anche in questo caso abbiamo ottenuto un'identità, ecco perché siamo autorizzati a concludere che anche x=\frac{1}{4} è soluzione dell'equazione di partenza.

In conclusione

\sqrt{(3x+1)^2-6x}=\sqrt{1-3x}+3x

è un'equazione determinata con soluzioni

x=0 \ \ \ , \  \ \ x=\frac{1}{4}

e il suo insieme risolvente è dato da

S=\left\{0,\ \frac{1}{4}\right\}

Abbiamo finito.
  • Pagina:
  • 1
Os