Divisione tra polinomi con frazioni

Avrei bisogno di una mano per svolgere un esercizio sulle divisioni tra polinomi a coefficienti fratti. Ho svolto senza difficoltà le divisioni con i polinomi a coefficienti interi, ma con i coefficienti fratti mi perdo nei calcoli.

Eseguire la seguente divisione polinomiale



Indicati con il polinomio quoziente e il polinomio resto rispettivamente, verificare che sussista l'uguaglianza



Grazie.

Per calcolare la divisione tra i polinomi



bisogna attenersi ai passi dell'algoritmo della divisione. Notiamo, innanzitutto, che sia il dividendo che il divisore sono polinomi ordinati secondo le potenze decrescenti dell'indeterminata .

Osserviamo, inoltre, che non è un polinomio completo rispetto a , infatti mancano il termine in e quello in . Nulla di grave! Possiamo tranquillamente inserire gli zeri segnaposto e ricavare la forma completa con cui innescare l'algoritmo:



Disponiamo i polinomi secondo il seguente schema:



Dividiamo il primo termine del dividendo per il primo terime del divisore



Abbiamo ottenuto che è il primo termine del polinomio quoziente: riportiamolo nella tabella sotto il divisore



A questo punto moltiplichiamo per ciascun termine del divisore e incolonniamo i prodotti, cambiati di segno, sotto il dividendo



dopodiché addizioniamo i monomi simili riportando i risultati sotto la linea di separazione



Ottimo! Abbiamo già finito perché il grado del polinomio resto è inferiore rispetto al grado del divisore, di conseguenza possiamo estrapolare sia il quoziente sia il resto dalla tabella:



La prima parte dell'esercizio è completa, occupiamoci della seconda: dobbiamo verificare che i polinomi ricavati soddisfano l'uguaglianza



che nel caso in esame diventa



Sviluppando il prodotto tra i polinomi al secondo membro, ricaviamo effettivamente un polinomio in tutto e per tutto identico al primo:



Ciò assicura che l'esercizio è stato svolto senza errori di calcolo.