Equazione irrazionale con radici di indice 2 e 3
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Equazione irrazionale con radici di indice 2 e 3 #90358
![]() albertozzo Punto | Ho bisogno di una mano per risolvere un'equazione irrazionale in cui compaiono radici con indici diversi. Nonostante abbia seguito la strategia del mio insegnante, non ottengo gli stessi risultati e non capisco perché. Risolvere la seguente equazione irrazionale Grazie. |
Equazione irrazionale con radici di indice 2 e 3 #90513
![]() Omega Amministratore | L'equazione irrazionale che dobbiamo risolvere è Essa è caratterizzata dalla presenza di due termini irrazionali, uno con indice pari e l'altro con indice dispari. Affinché l'equazione sia ben posta, siamo costretti a imporre le dovute condizioni di esistenza: pretendiamo che il radicando della radice quadrata sia maggiore o al più uguale a zero: ![]() A questo punto scriviamo l'equazione a "modello" isolando la radice quadrata al primo membro e imponiamo la condizione di concordanza: poiché per definizione le radici con indice pari sono positive o al più nulle, il primo membro è non negativo, pertanto dobbiamo richiedere che lo sia anche il secondo membro altrimenti l'uguaglianza non può sussistere. Ricaviamo così la disequazione irrazionale Invece di esplicitarne l'insieme soluzione, continuiamo con la risoluzione di Per eliminare entrambe le radici in un colpo solo, eleviamo i due membri per il minimo comune multiplo tra gli indici ![]() Utilizzando a dovere le proprietà delle radici, possiamo semplificare l'esponente con i rispettivi indici ricavando l'equazione ![]() Non ci resta che sviluppare il cubo di binomio al primo membro e il quadrato di binomio al secondo ![]() e, una volta trasportati tutti i termini al primo, sommiamo tra loro i monomi simili ![]() Ci siamo quindi ricondotti a un'equazione di grado superiore al secondo che possiamo risolvere avvalendoci della regola di Ruffini. Per poterla innescare abbiamo bisogno di una soluzione particolare dell'equazione che possiamo ricercare tra i divisori interi del termine noto. ![]() Procedendo per tentativi, scopriamo che il numero con cui innescare il metodo di Ruffini è 15, infatti ![]() dunque siamo autorizzati a riscrivere l'equazione nella forma dove ![]() In definitiva, il polinomio di secondo grado è ![]() e l'equazione si riscrive come ![]() Facciamo intervenire la legge di annullamento del prodotto e analizziamo le relazioni ![]() La prima è una semplice equazione di primo grado, soddisfatta per ![]() Calcoliamo il discriminante mediante la formula ![]() Dalla negatività di quest'ultimo ricaviamo che l'equazione di secondo grado non ammette soluzioni reali. In definitiva ![]() ammette l'unica soluzione La prima è certamente verificata giacché 15 è certamente maggiore di 6. Per verificare la condizione di concordanza è sufficiente rimpiazzare 15 a ogni occorrenza di svolgere i calcoli e controllare che la disuguaglianza sia realizzata: ![]() Poiché anche la condizione di concordanza è verificata, possiamo concludere che è un'equazione determinata, soddisfatta per Abbiamo terminato. |
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