Equazione irrazionale con radici di indice 2 e 3

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Equazione irrazionale con radici di indice 2 e 3 #90358

avt
albertozzo
Punto
Ho bisogno di una mano per risolvere un'equazione irrazionale in cui compaiono radici con indici diversi. Nonostante abbia seguito la strategia del mio insegnante, non ottengo gli stessi risultati e non capisco perché.

Risolvere la seguente equazione irrazionale

\sqrt[2]{x-6}-\sqrt[3]{2x-3}=0

Grazie.
 
 

Equazione irrazionale con radici di indice 2 e 3 #90513

avt
Omega
Amministratore
L'equazione irrazionale che dobbiamo risolvere è

\sqrt[2]{x-6}-\sqrt[3]{2x-3}=0

Essa è caratterizzata dalla presenza di due termini irrazionali, uno con indice pari e l'altro con indice dispari. Affinché l'equazione sia ben posta, siamo costretti a imporre le dovute condizioni di esistenza: pretendiamo che il radicando della radice quadrata sia maggiore o al più uguale a zero:

C.E.: \ x-6\ge 0 \ \ \ \to \ \ \ x\ge 6

A questo punto scriviamo l'equazione a "modello" isolando la radice quadrata al primo membro

\sqrt[2]{x-6}=\sqrt[3]{2x-3}

e imponiamo la condizione di concordanza: poiché per definizione le radici con indice pari sono positive o al più nulle, il primo membro è non negativo, pertanto dobbiamo richiedere che lo sia anche il secondo membro altrimenti l'uguaglianza non può sussistere. Ricaviamo così la disequazione irrazionale

C.C.:\ \sqrt[3]{2x-3}\ge 0

Invece di esplicitarne l'insieme soluzione, continuiamo con la risoluzione di

\sqrt[2]{x-6}=\sqrt[3]{2x-3}

Per eliminare entrambe le radici in un colpo solo, eleviamo i due membri per il minimo comune multiplo tra gli indici

(\sqrt[2]{x-6})^{6}=(\sqrt[3]{2x-3})^{6}

Utilizzando a dovere le proprietà delle radici, possiamo semplificare l'esponente con i rispettivi indici ricavando l'equazione

(x-6)^3=(2x-3)^{2}

Non ci resta che sviluppare il cubo di binomio al primo membro e il quadrato di binomio al secondo

x^3-18x^2+108x-216=4x^2-12x+9

e, una volta trasportati tutti i termini al primo, sommiamo tra loro i monomi simili

x^3-22x^2+120x-225=0

Ci siamo quindi ricondotti a un'equazione di grado superiore al secondo che possiamo risolvere avvalendoci della regola di Ruffini.

Per poterla innescare abbiamo bisogno di una soluzione particolare dell'equazione che possiamo ricercare tra i divisori interi del termine noto.

\\ \mbox{Divisori di }225=\\ \\ =\{\pm 1,\ \pm 3,\ \pm 5,\ \pm 15,\ \pm 25,\ \pm 45,\ \pm 75,\ \pm225\}

Procedendo per tentativi, scopriamo che il numero con cui innescare il metodo di Ruffini è 15, infatti

15^3-22\cdot 15^2+120\cdot 15-225=0

dunque siamo autorizzati a riscrivere l'equazione nella forma

(x-15)Q(x)=0

dove Q(x) è un polinomio di secondo grado i cui coefficienti si ottengono dalla seguente tabella

\begin{array}{c|ccccc|c}&1&&-22&&120&-225\\ &&&&&&\\ &&&&&&\\ 15&&&15&&-105&225\\ \hline &1&&-7&&15&0\end{array}

In definitiva, il polinomio di secondo grado è

Q(x)=x^2-7x+15

e l'equazione si riscrive come

(x-15)(x^2-7x+15)=0

Facciamo intervenire la legge di annullamento del prodotto e analizziamo le relazioni

x-15=0 \ \ \ , \ \ \ x^2-7x+15=0

La prima è una semplice equazione di primo grado, soddisfatta per x=15. La seconda è invece un'equazione di secondo grado con coefficienti

a=1 \ \ \ , \  \ \ b=-7 \ \ \ , \ \ \ c=15

Calcoliamo il discriminante mediante la formula

\Delta=b^2-4ac= (-7)^2-4\cdot 1\cdot 15=-11

Dalla negatività di quest'ultimo ricaviamo che l'equazione di secondo grado non ammette soluzioni reali.

In definitiva

x^3-22x^2+120x-225=0

ammette l'unica soluzione x=15. Per verificare che questo valore sia effettivamente soluzione dell'equazione irrazionale x=15 deve soddisfare sia la condizione di esistenza, (x\ge 6), sia la condizione di concordanza.

La prima è certamente verificata giacché 15 è certamente maggiore di 6. Per verificare la condizione di concordanza è sufficiente rimpiazzare 15 a ogni occorrenza di x nella relazione

\sqrt[3]{2x-3}\ge 0

svolgere i calcoli e controllare che la disuguaglianza sia realizzata:

\sqrt[3]{2\cdot 15-3}=\sqrt[3]{27}=3\ge 0

Poiché anche la condizione di concordanza è verificata, possiamo concludere che

\sqrt[2]{x-6}-\sqrt[3]{2x-3}=0

è un'equazione determinata, soddisfatta per x=15, di conseguenza il suo insieme soluzione è

S=\left\{15\right\}

Abbiamo terminato.
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