Equazione logaritmica con argomento fratto

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Equazione logaritmica con argomento fratto #89892

avt
matdom
Cerchio
Ho bisogno del vostro aiuto per risolvere un'equazione fratta, in cui compaiono logaritmi con basi fratte. Ho imposto le condizioni di esistenza e usato la formula del cambiamento di base, però poi mi blocco.

Determinare l'insieme delle soluzioni associato all'equazione logaritmica fratta

\log_{\frac{1}{2}}\left(\frac{x}{x+3}\right)=\log_{\frac{1}{4}}(x^2)

Grazie mille.
 
 

Equazione logaritmica con argomento fratto #89952

avt
Omega
Amministratore
Consideriamo l'equazione fratta

\log_{\frac{1}{2}}\left(\frac{x}{x+3}\right)=\log_{\frac{1}{4}}(x^2)

Prima di effettuare qualsiasi passaggio algebrico, bisogna imporre le condizioni di esistenza per i logaritmi: richiederemo che i loro argomenti siano maggiori di zero. Bisogna richiedere, inoltre, che i denominatori che contengono l'incognita siano diversi da zero.

Poiché le condizioni devono valere contemporaneamente, esse costituiscono il sistema di disequazioni

\begin{cases}\dfrac{x}{x+3}>0 \\ \\ x+3\ne 0 \\ \\ x^2>0\end{cases}

Risolviamole separatamente, dopodiché intersechiamo gli insiemi soluzione. Partiamo dalla disequazione fratta

\frac{x}{x+3}>0

analizzando il segno del numeratore e del denominatore:

\\ N>0 \ : \ x>0 \\ \\ D>0 \ : \ x+3>0 \ \ \ \to \ \ \ x>-3

Una volta rappresentata la tabella dei segni, scopriamo che la disequazione è soddisfatta per

x<-3 \ \ \ \vee \ \ \ x>0

dove \vee è il connettivo logico "or".

Occupiamoci della seconda relazione del sistema

x+3\ne 0\ \ \ \to \ \ \ x\ne -3

e della terza

x^2>0 \ \ \ \to \ \ \ x\ne 0

Nota: si osservi che un quadrato è sempre positivo, tranne quando la sua base è uguale a zero, per questo abbiamo escluso lo zero.

Intersecando i tre insiemi soluzione, scopriamo che l'equazione è ben posta se l'incognita sottostà alla seguenti condizioni

C.E.: \ x<-3 \ \ \ \vee \ \ \ x>0

Esplicitate le condizioni di esistenza, possiamo occuparci della equazione.

\log_{\frac{1}{2}}\left(\frac{x}{x+3}\right)=\log_{\frac{1}{4}}(x^2)

Riconduciamoci alla forma normale, facendo in modo che i logaritmi abbiano la medesima base: abbiamo bisogno della formula del cambiamento di base!

Grazie alla relazione

\log_{a}(b)=\frac{\log_{c}(b)}{\log_{c}(a)}

con a, \ b \ \mbox{e} \ c positivi e a,\ c diversi da 1, possiamo esprimere il logaritmo dalla base \frac{1}{4} alla base \frac{1}{2}

\log_{\frac{1}{4}}(x^2)=\frac{\log_{\frac{1}{2}}(x^2)}{\log_{\frac{1}{2}}\left(\dfrac{1}{4}\right)}

Si osservi che \frac{1}{4} è il quadrato di \frac{1}{2}, di conseguenza la definizione di logaritmo garantisce la seguente uguaglianza

\log_{\frac{1}{2}}\left(\frac{1}{4}\right)=\log_{\frac{1}{2}}\left(\left(\frac{1}{2}\right)^2\right)=2

di conseguenza l'equazione

\log_{\frac{1}{2}}\left(\frac{x}{x+3}\right)=\log_{\frac{1}{4}}(x^2)

si riscrive nella forma

\log_{\frac{1}{2}}\left(\frac{x}{x+3}\right)=\frac{\log_{\frac{1}{2}}(x^2)}{2}

Sfruttiamo le proprietà dei logaritmi e in particolare la regola dell'esponente, grazie alla quale il coefficiente moltiplicativo \frac{1}{2} del logaritmo al secondo membro diventa l'esponente dell'argomento:

\log_{\frac{1}{2}}\left(\frac{x}{x+3}\right)=\log_{\frac{1}{2}}\left((x^2)^{\frac{1}{2}}\right)

In base alla definizione di valore assoluto:

(x^2)^{\frac{1}{2}}=|x|\ \ \ \mbox{per ogni}\ x\in\mathbb{R}

pertanto l'equazione diventa

\log_{\frac{1}{2}}\left(\frac{x}{x+3}\right)=\log_{\frac{1}{2}}\left(|x|\right)

Poiché due logaritmi con la stessa base sono uguali se e solo se hanno lo stesso argomento, la precedente uguaglianza si riscrive come

\frac{x}{x+3}=|x|

Ci siamo quindi ricondotti a un'equazione con valore assoluto che può essere risolta analizzando due casi, in base al segno dell'argomento del valore assoluto.

Sotto il vincolo x\ge 0 si ha che |x|=x, di conseguenza l'equazione diventa

\frac{x}{x+3}=x

Moltiplichiamo i due membri per x+3

x=x(x+3)

sviluppiamo i calcoli

x=x^2+3x \ \ \ \to \ \ \ x^2+2x=0

e risolviamo l'equazione spuria, operando il raccoglimento totale di x e sfruttando come si deve la legge di annullamento del prodotto:

x(x+2)=0 \ \ \ \to \ \ \ x=0 \ \ \vee \ \ x+2=0

da cui

x=0 \ \ \vee \ \ x=-2

Si noti che la soluzione x=-2 non è accettabile perché non rispetta il vincolo x\ge 0.



Occupiamoci del caso x<0. Sotto tale vincolo, |x|=-x, di conseguenza l'equazione

\frac{x}{x+3}=|x|

diventa

\frac{x}{x+3}=-x

Moltiplichiamo per x+3 a destra e a sinistra

x=-x(x+3)

eseguiamo il prodotto al secondo membro

x=-x^2-3x

e scriviamo l'equazione in forma normale

x^2+4x=0

Raccogliamo totalmente x e usiamo la legge di annullamento del prodotto

x(x+4)=0 \ \ \ \to \ \ \ x=0 \ \ \vee \ \ x=-4

In questa occasione, x=0 non è una soluzione accettabile perché non rispetta il vincolo x<0.

Riassumendo: le soluzioni dell'equazione

\frac{x}{x+3}=|x|

sono x=-4 \ \mbox{e} \ x=0 e si candidano come soluzioni dell'equazione iniziale, ma attenzione! È soluzione esclusivamente il valore che rispetta i vincoli

C.E.: \ x<-3 \ \ \ \vee \ \ \ x>0

ossia x=-4. Concludiamo che l'insieme delle soluzioni associato all'equazione

\log_{\frac{1}{2}}\left(\frac{x}{x+3}\right)=\log_{\frac{1}{4}}(x^2)

è S=\left\{-4\right\}.

Abbiamo finito.
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