Equazione logaritmica con argomento fratto

Ho bisogno del vostro aiuto per risolvere un'equazione fratta, in cui compaiono logaritmi con basi fratte. Ho imposto le condizioni di esistenza e usato la formula del cambiamento di base, però poi mi blocco.

Determinare l'insieme delle soluzioni associato all'equazione logaritmica fratta



Grazie mille.

Consideriamo l'equazione fratta



Prima di effettuare qualsiasi passaggio algebrico, bisogna imporre le condizioni di esistenza per i logaritmi: richiederemo che i loro argomenti siano maggiori di zero. Bisogna richiedere, inoltre, che i denominatori che contengono l'incognita siano diversi da zero.

Poiché le condizioni devono valere contemporaneamente, esse costituiscono il sistema di disequazioni



Risolviamole separatamente, dopodiché intersechiamo gli insiemi soluzione. Partiamo dalla disequazione fratta



analizzando il segno del numeratore e del denominatore:



Una volta rappresentata la tabella dei segni, scopriamo che la disequazione è soddisfatta per



dove è il connettivo logico "or".

Occupiamoci della seconda relazione del sistema



e della terza



Nota: si osservi che un quadrato è sempre positivo, tranne quando la sua base è uguale a zero, per questo abbiamo escluso lo zero.

Intersecando i tre insiemi soluzione, scopriamo che l'equazione è ben posta se l'incognita sottostà alla seguenti condizioni



Esplicitate le condizioni di esistenza, possiamo occuparci della equazione.



Riconduciamoci alla forma normale, facendo in modo che i logaritmi abbiano la medesima base: abbiamo bisogno della formula del cambiamento di base!

Grazie alla relazione



con positivi e diversi da 1, possiamo esprimere il logaritmo dalla base alla base



Si osservi che è il quadrato di , di conseguenza la definizione di logaritmo garantisce la seguente uguaglianza



di conseguenza l'equazione



si riscrive nella forma



Sfruttiamo le proprietà dei logaritmi e in particolare la regola dell'esponente, grazie alla quale il coefficiente moltiplicativo del logaritmo al secondo membro diventa l'esponente dell'argomento:



In base alla definizione di valore assoluto:



pertanto l'equazione diventa



Poiché due logaritmi con la stessa base sono uguali se e solo se hanno lo stesso argomento, la precedente uguaglianza si riscrive come



Ci siamo quindi ricondotti a un'equazione con valore assoluto che può essere risolta analizzando due casi, in base al segno dell'argomento del valore assoluto.

Sotto il vincolo si ha che , di conseguenza l'equazione diventa



Moltiplichiamo i due membri per



sviluppiamo i calcoli



e risolviamo l'equazione spuria, operando il raccoglimento totale di e sfruttando come si deve la legge di annullamento del prodotto:



da cui



Si noti che la soluzione non è accettabile perché non rispetta il vincolo .



Occupiamoci del caso . Sotto tale vincolo, , di conseguenza l'equazione



diventa



Moltiplichiamo per a destra e a sinistra



eseguiamo il prodotto al secondo membro



e scriviamo l'equazione in forma normale



Raccogliamo totalmente e usiamo la legge di annullamento del prodotto



In questa occasione, non è una soluzione accettabile perché non rispetta il vincolo .

Riassumendo: le soluzioni dell'equazione



sono e si candidano come soluzioni dell'equazione iniziale, ma attenzione! È soluzione esclusivamente il valore che rispetta i vincoli



ossia . Concludiamo che l'insieme delle soluzioni associato all'equazione



è .

Abbiamo finito.