Equazione irrazionale con radici pari di indici diversi

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Equazione irrazionale con radici pari di indici diversi #89528

avt
F3l1x
Cerchio
Mi è capitato un esercizio sulle equazioni irrazionali in cui compaiono due radici con indici diversi. Sinceramente non ho idea di come si faccia, né il professore ha spiegato come fare. Confido nel vostro aiuto.

Calcolare le eventuali soluzioni della seguente equazione irrazionale

\sqrt{x+2}=\sqrt[4]{x+14}

Grazie.
 
 

Equazione irrazionale con radici pari di indici diversi #89537

avt
Pi Greco
Kraken
L'equazione irrazionale di cui vogliamo calcolare le eventuali soluzioni è

\sqrt{x+2}=\sqrt[4]{x+14}

Essa è caratterizzata dalla presenza di due radici con indici diversi e in questa circostanza bisogna prima di tutto imporre le condizioni di esistenza, richiedendo che entrambi i radicandi siano positivi o al più nulli, visto che entrambe le radici hanno indice pari.

Richiederemo quindi che vengano soddisfatte contemporaneamente le due relazioni

x+2\ge 0 \ \ \  , \ \ \ x+14\ge 0

Proprio perché devono valere in contemporanea, con esse formeremo un sistema di disequazioni

\begin{cases}x+2\ge 0 \\ \\ x+14\ge 0\end{cases}

da cui

\begin{cases}x\ge -2 \\ \\ x\ge -14\end{cases}

Intersecate le due soluzioni ricaviamo l'insieme di esistenza delle soluzioni

C.E.:\ x\ge -2

Dal punto di vista teorico, dovremmo imporre la cosiddetta condizione di concordanza, ma in questo frangente è del tutto inutile perché sia il primo che il secondo membro sono radici a indice pari e in quanto tali positivi o al più nulli.

Dopo questo importantissimo preambolo, torniamo all'equazione

\sqrt{x+2}=\sqrt[4]{x+14}

Il nostro intento consiste nell'eliminare in un colpo solo entrambe le radici, però abbiamo bisogno delle proprietà dei radicali e in particolare quella relativa a una potenza di un radicale.

In buona sostanza eleveremo i due membri per il minimo comune multiplo dei due indici, in questo caso 4, dopodiché utilizzeremo la proprietà invariantiva dei radicali

\\ (\sqrt{x+2})^4=(\sqrt[4]{x+14})^4

Al primo membro l'esponente si semplifica con l'indice della radice e passa da 4 a 2, mentre al secondo l'esponente e l'indice si semplificano a vicenda

(x+2)^2=x+14

Sviluppiamo il quadrato di binomio

x^2+4x+4=x+14

dopodiché trasportiamo tutti i termini al primo ricavando così l'equazione di secondo grado

x^2+3x-10=0

Detti a, \ b \ \mbox{e} \ c rispettivamente il coefficiente di x^2, quello di x e il termine noto, ossia

a=1 \ \ \ ,\ \ \ b=3 \ \ \  , \ \ \ c=-10

possiamo calcolare il discriminante associato con la formula

\Delta=b^2-4ac=3^2-4\cdot 1\cdot (-10)=49

per cui le soluzioni sono:

\\ x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-3\pm\sqrt{49}}{2}= \\ \\ \\ =\frac{-3\pm 7}{2}=\begin{cases}\frac{-3-7}{2}=-5=x_1 \\ \\ \frac{-3+7}{2}=2=x_2\end{cases}

Sottolineiamo che i valori ottenuti sono soluzioni dell'equazione di secondo grado e non della equazione irrazionale: affinché lo siano, devono necessariamente soddisfare la condizione x\ge-2.

Chiaramente x_1=-5 non soddisfa il vincolo x\ge -2 ed è dunque un falso positivo, d'altro canto x_2=2 è soluzione dell'equazione irrazionale.

In definitiva

\sqrt{x+2}=\sqrt[4]{x+14}

ammette come unica soluzione x=2, pertanto il suo insieme soluzione è

S=\{2\}

Abbiamo terminato.
Ringraziano: Galois, F3l1x
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Os