Trovare la scomposizione di un polinomio

Avrei bisogno di una mano per scomporre un polinomio avvalendomi, nell'ordine, della regola del quadrato di binomio e della regola di Ruffini (o almeno così mi suggerisce il testo). Io ho provato più volte a svolgere l'esercizio, però il mio risultato è ben diverso da quello proposto.

Scomporre il seguente polinomio usando le tecniche di scomposizione opportune.



Suggerimento: usare il prodotto notevole relativo al quadrato di binomio e la regola di Ruffini.

Grazie.

Consideriamo il polinomio



Il nostro intento consiste nell'esprimerlo nel prodotto di fattori irriducibili usando le opportune tecniche di scomposizione.

Iniziamo dall'analisi dei termini che compongono il polinomio; in esso troviamo:

- il quadrato di ;

- il quadrato di ;

- il doppio prodotto tra ;

Ha senso, quindi, usare il prodotto notevole relativo allo sviluppo del quadrato di un binomio e riscrivere l'espressione



nella forma



Non abbiamo ancora finito! Il polinomio, base del quadrato, può essere ulteriormente fattorizzato con la regola di Ruffini.

Concentriamoci, quindi, sul trinomio e osserviamo immediatamente che:

- è un polinomio ordinato secondo le potenze decrescenti di ;

- non è un polinomio completo, manca il termine in ;

- il coefficiente di è uno, per cui è un polinomio monico.

Per innescare la regola di Ruffini, abbiamo bisogno di una sua radice (possibilmente razionale): la ricerchiamo nella forma dove è un divisore - con segno - del termine noto (ossia di 2) e è un divisore del coefficiente del termine di grado massimo (ossia 1).

Si noti che in questa circostanza, il coefficiente del termine di grado massimo è pari a 1, per cui le possibili radici razionali sono divisori con segno del termine noto.

Esplicitiamo i divisori del termine noto: essi formano l'insieme



dal quale estrarremo una radice di .

Procedendo per tentativi, scopriamo che un valore utile all'esercizio è , infatti se sostituiamo con , il polinomio si annulla:



In accordo con la teoria, si esprime come prodotto tra e il polinomio di secondo grado i cui coefficienti costituiscono l'ultima riga della tabella di Ruffini, che in questo caso è:



per cui:



Il polinomio può essere ulteriormente fattorizzato, usando ad esempio la tecnica di scomposizione per i trinomi notevoli: sebbene sia più comoda e più veloce da usare, riteniamo che sia più utile usare nuovamente la regola di Ruffini.

Notiamo sin da subito che rispetta tutte le condizioni della tecnica di Ruffini e una sua radice razionale è , infatti:



Atteniamoci al metodo così da ricavare la seguente tabella



In accordo con la teoria, si esprime come prodotto tra il binomio e il polinomio di primo grado i cui coefficienti figurano nell'ultima riga della tabella, vale a dire:



Abbiamo quasi terminato: basta ripercorrere all'indietro lo svolgimento e scrivere i seguenti passaggi.



Usando infine le proprietà delle potenze, l'espressione si semplifica ulteriormente e diventa:



L'esercizio è concluso.