Trovare la scomposizione di un polinomio

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Trovare la scomposizione di un polinomio #8928

avt
giuliaice
Punto
Avrei bisogno di una mano per scomporre un polinomio avvalendomi, nell'ordine, della regola del quadrato di binomio e della regola di Ruffini (o almeno così mi suggerisce il testo). Io ho provato più volte a svolgere l'esercizio, però il mio risultato è ben diverso da quello proposto.

Scomporre il seguente polinomio usando le tecniche di scomposizione opportune.

(x^3-3x+1)^2+2(x^3-3x+1)+1

Suggerimento: usare il prodotto notevole relativo al quadrato di binomio e la regola di Ruffini.

Grazie.
 
 

Trovare la scomposizione di un polinomio #8962

avt
Omega
Amministratore
Consideriamo il polinomio

(x^3-3x+1)^2+2(x^3-3x+1)+1

Il nostro intento consiste nell'esprimerlo nel prodotto di fattori irriducibili usando le opportune tecniche di scomposizione.

Iniziamo dall'analisi dei termini che compongono il polinomio; in esso troviamo:

- il quadrato di x^3-3x+1;

- il quadrato di 1;

- il doppio prodotto tra x^3-3x+1 \ \mbox{e} \ 1;

Ha senso, quindi, usare il prodotto notevole relativo allo sviluppo del quadrato di un binomio e riscrivere l'espressione

(x^3-3x+1)^2+2(x^3-3x+1)+1=

nella forma

=(x^3-3x+1+1)^2=(x^3-3x+2)^2

Non abbiamo ancora finito! Il polinomio, base del quadrato, può essere ulteriormente fattorizzato con la regola di Ruffini.

Concentriamoci, quindi, sul trinomio x^3-3x+2 e osserviamo immediatamente che:

- è un polinomio ordinato secondo le potenze decrescenti di x;

- non è un polinomio completo, manca il termine in x^2;

- il coefficiente di x^3 è uno, per cui è un polinomio monico.

Per innescare la regola di Ruffini, abbiamo bisogno di una sua radice (possibilmente razionale): la ricerchiamo nella forma \frac{A}{B} dove A è un divisore - con segno - del termine noto (ossia di 2) e B è un divisore del coefficiente del termine di grado massimo (ossia 1).

Si noti che in questa circostanza, il coefficiente del termine di grado massimo è pari a 1, per cui le possibili radici razionali sono divisori con segno del termine noto.

Esplicitiamo i divisori del termine noto: essi formano l'insieme

\mbox{Divisori di }2=\{-1,\ +1,\  -2,\ 2\}

dal quale estrarremo una radice di x^3-3x+2.

Procedendo per tentativi, scopriamo che un valore utile all'esercizio è x=1, infatti se sostituiamo x con 1, il polinomio x^3-3x+2 si annulla:

1^3-3\cdot 1+2=1-3+2=0

In accordo con la teoria, x^3-3x+2 si esprime come prodotto tra x-1 e il polinomio di secondo grado i cui coefficienti costituiscono l'ultima riga della tabella di Ruffini, che in questo caso è:

\begin{array}{c|ccccc|c}&1&&0&&-3&2\\ &&&&&& \\ 1&&&1&&1&-2\\ \hline &1&&1&&-2&//\end{array}

per cui:

x^3-3x+2=(x-1)(x^2+x-2)

Il polinomio x^2+x-2 può essere ulteriormente fattorizzato, usando ad esempio la tecnica di scomposizione per i trinomi notevoli: sebbene sia più comoda e più veloce da usare, riteniamo che sia più utile usare nuovamente la regola di Ruffini.

Notiamo sin da subito che x^2+x-2 rispetta tutte le condizioni della tecnica di Ruffini e una sua radice razionale è x=1, infatti:

1^2+1-2=0

Atteniamoci al metodo così da ricavare la seguente tabella

\begin{array}{c|cccc|c}&1&&&1&-2\\ &&&&&\\ 1&&&&1&2\\ \hline &1&&&2&//\end{array}

In accordo con la teoria, x^2+x-2 si esprime come prodotto tra il binomio x-1 e il polinomio di primo grado i cui coefficienti figurano nell'ultima riga della tabella, vale a dire:

x^2+x-2=(x-1)(x+2)

Abbiamo quasi terminato: basta ripercorrere all'indietro lo svolgimento e scrivere i seguenti passaggi.

\\ (x^3-3x+1)^2+2(x^3-3x+1)+1= \\ \\ =(x^3-3x+1+1)^2=\\ \\ =(x^3-3x+2)^2=\\ \\ =[(x-1)(x-1)(x+2)]^2=

Usando infine le proprietà delle potenze, l'espressione si semplifica ulteriormente e diventa:

=[(x-1)^2(x+2)]^2=(x-1)^4(x+2)^2

L'esercizio è concluso.
Ringraziano: Pi Greco, frank094
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Os