Problema aritmetico con i sistemi lineari

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Problema aritmetico con i sistemi lineari #88972

avt
qpb sp
Punto
Riscontro alcune difficoltà nella risoluzione di un problema di tipo algebrico in cui devo usare i sistemi lineari di due equazioni in due incognite. Ho tentato una strategia risolutiva ma i miei risultati non coincidono con quelli proposti.

Un numero di due cifre è tale che sommando i \frac{2}{5} della cifra delle decine con \frac{1}{3} delle cifre delle unità si ottiene \frac{53}{15}. Sommando il numero con quello che si ottiene scrivendo le sue cifre in ordine inverso si ottiene 110. Determinare il numero.

Grazie.
 
 

Problema aritmetico con i sistemi lineari #88982

avt
Omega
Amministratore
Possiamo risolvere il problema impostando un opportuno sistema lineare, ma prima bisogna analizzare correttamente il testo così da comprendere quali sono le incognite e dunque le equazioni che comporranno il sistema risolvente.

Le incognite del problema, purtroppo, sono ben nascoste o meglio, è necessario ricorrere alle proprie conoscenze di algebra di base per impostare correttamente il testo.

Ricordiamo che nel sistema numerico decimale, ogni numero naturale di due cifre può essere decomposto come segue

\mbox{numero}=10x+y

dove x\ \mbox{e} \ y sono due numeri naturali compresi tra 0 e 9 inclusi, che rappresentano rispettivamente la cifra delle decine e la cifra delle unità. In termini leggermente più tecnici, abbiamo esplicitato quella che prende il nome di forma polinomiale di un numero.

Chiaramente se determiniamo la cifra delle unità e quella delle decine, saremo in grado di esprimere il numero stesso.

Analizziamo il testo dell'esercizio così da ricavare le equazioni che consentono di impostare il sistema. Sappiamo che sommando i \frac{2}{5} della cifra delle decine con \frac{1}{3} della cifra delle unità si ottiene \frac{53}{15}, dunque scriviamo

\frac{2}{5}x+\frac{1}{3}y=\frac{53}{15}

Essa rappresenta la prima relazione che formerà il sistema. La traccia garantisce inoltre che la somma tra il numero incognito e quello che si ottiene invertendo l'ordine delle cifre è pari a 110. Questo è probabilmente il punto più delicato dell'esercizio e richiede qualche attenzione in più.

Se il numero da determinare è

\mbox{numero}=10x+y

allora il numero che si ottiene invertendo l'ordine delle cifre è 10y+x e dunque la frase precedente si traduce nell'equazione

10x+y+(10y+x)=110\ \ \ \to \ \ \ 11x+11y=110

e dividendo entrambi i membri per 11 otteniamo l'equazione equivalente

x+y=10

Abbiamo finalmente ricavato le due equazioni che formano il sistema lineare risolvente

\begin{cases}\dfrac{2}{5}x+\dfrac{1}{3}y=\dfrac{53}{15}\\ \\ x+y=10\end{cases}

Prima di innescare una qualsiasi strategia risolutiva, è opportuno calcolare il minimo comune multiplo tra i denominatori, così da ricondurci a un sistema equivalente a coefficienti interi

\begin{cases}\dfrac{6x+5y}{15}=\dfrac{53}{15}\\ \\ x+y=10\end{cases}

da cui, moltiplicando i due membri della prima equazione per 15, otteniamo

\begin{cases}6x+5y=53\\ \\ x+y=10\end{cases}

Risolviamo a questo punto il sistema mediante il metodo di sostituzione. Dalla seconda equazione esprimiamo x in termini di y

\begin{cases}6x+5y=53\\ \\ x=10-y\end{cases}

dopodiché sostituiamo l'espressione ottenuta nella prima

\begin{cases}6(10-y)+5y=53\\ \\ x=10-y\end{cases}

Osserviamo che grazie alla sostituzione, la prima relazione è diventata un'equazione di primo grado nell'incognita y

\begin{cases}60-6y+5y=53\\ \\ x=10-y\end{cases}

Sommati i monomi simili e isolata l'incognita y al primo membro, otteniamo

\begin{cases}-y=-7\ \ \ \to \ \ \ y=7\\ \\ x=10-y\ \ \ \to \ \ \  x=3\end{cases}

In definitiva, la cifra delle unità è 7 e quella delle decine è 3, di conseguenza il numero richiesto dal problema è

\mbox{numero}=10x+y=10\cdot 3+7=37

Ecco fatto!
Ringraziano: CarFaby
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Os