Equazione fratta con due valori assoluti

Prima di postare leggi le regole del Forum. Puoi anche leggere le ultime discussioni.

Equazione fratta con due valori assoluti #88759

avt
Manuela1
Punto
Ho tentato più e più volte di risolvere un'equazione fratta con i moduli, ma nonostante ciò non sono stato in grado di ottenere il risultato richiesto dal libro, per questo motivo ho pensato di rivolgermi a voi.

Calcolare le eventuali soluzioni della seguente equazione fratta con i valori assoluti

\frac{3+|2-x|}{5}+\frac{1}{2|x|}=1

Grazie.
 
 

Equazione fratta con due valori assoluti #88762

avt
Omega
Amministratore
Prima di determinare le eventuali soluzioni della seguente equazione fratta

\frac{3+|2-x|}{5}+\frac{1}{2|x|}=1

bisogna imporre le condizioni di esistenza richiedendo che il denominatore che contiene l'incognita sia diverso da zero.

C.E.: \ 2|x|\ne 0 \ \ \ \to \ \ \ x\ne 0

Una volta determinata la condizione che definisce l'insieme di esistenza delle soluzioni, possiamo procedere con i passaggi algebrici che serviranno a esprimere l'equazione in forma normale. Trasportiamo 1 al primo membro

\frac{3+|2-x|}{5}+\frac{1}{2|x|}-1=0

dopodiché esprimiamo le frazioni a denominatore comune

\frac{2|x|(3+|2-x|)+5-10|x|}{10|x|}=0

Per x\ne 0 moltiplichiamo i due membri per 10|x| riconducendoci così alla seguente equazione con i moduli

2|x|(3+|2-x|)+5-10|x|=0

Proprio perché compaiono più valori assoluti, saremo costretti a studiare i segni dei loro argomenti e individuare gli insiemi in cui analizzare l'equazione.

Impostiamo quindi le seguenti disequazioni di primo grado

x\ge 0 \ \ \ \mbox{e} \ \ \ 2-x\ge 0

La prima è praticamente già risolta, la seconda invece richiede qualche passaggio in più:

2-x\ge 0 \ \ \ \to \ \ \ -x\ge -2 \ \ \ \to \ \ \ x\le 2

Ora siamo in grado di sfruttare la definizione stessa di valore assoluto e analizzare l'equazione in base ai segni degli argomenti. Più precisamente:



- se x<0, si ha che

|x|=-x \ \ \ \mbox{e} \ \ \ |2-x|=2-x

pertanto l'equazione

2|x|(3+|2-x|)+5-10|x|=0

diventa

\\ 2(-x)(3+2-x)+5-10(-x)=0 \\ \\ 2x^2+5=0

Quella ottenuta è un'equazione pura che non ammette soluzioni reali: notiamo infatti che 2x^2+5 è una somma tra una quantità non negativa (2x^2) e una quantità positiva (5) che non può essere mai uguale a zero.

- Se 0\le x<2, allora sussistono le seguenti uguaglianze:

|x|=x \ \ \ \mbox{e} \ \ \ |2-x|=2-x

grazie alle quali l'equazione

2|x|(3+|2-x|)+5-10|x|=0

si riscrive nella forma equivalente

\\ 2x(3+2-x)+5-10x=0 \\ \\ 2x(5-x)+5-10x=0 \\ \\ 5-2x^2=0

Ci siamo ricondotti ancora una volta a un'equazione di secondo grado pura, che risolviamo isolando il quadrato al primo membro

5-2x^2=0 \ \ \ \to \ \ \ x^2=\frac{5}{2} \ \ \ \to \ \ \ x=\pm\sqrt{\frac{5}{2}}

I valori ottenuti sono due e opposti tra loro, però solo quello che rispetta il vincolo 0\le x<2 è accettabile, mentre l'altro è da scartare: di conseguenza solo x=\sqrt{\frac{5}{2}} è soluzione dell'equazione.

- Se x>2, intervengono le seguenti uguaglianze

|x|=x \ \ \ \mbox{e} \ \ \ |2-x|=x-2

sfruttando le quali, l'equazione

2|x|(3+|2-x|)+5-10|x|=0

si riscrive nella forma

2x(3+x-2)+5-10x=0

Una volta sviluppati i prodotti e sommati tra loro i monomi simili otteniamo l'equazione di secondo grado

2x^2-8x+5=0

che è caratterizzata dalla parità del coefficiente di x. Proprio per questo motivo, possiamo avvalerci della formula del delta quarti per ricavare le soluzioni. Poniamo a=2, \ b=-8 \ \mbox{e} \ c=5, il delta quarti si ottiene con la seguente relazione

\frac{\Delta}{4}=\left(\frac{b}{2}\right)^2-ac=\left(-\frac{8}{2}\right)^2-2\cdot 5=6

ergo, le soluzioni dell'equazione di secondo grado sono:

\\ x_{1,2}=\frac{-\frac{b}{2}\pm\sqrt{\frac{\Delta}{4}}}{a}=\\ \\ \\ =\frac{4\pm \sqrt{6}}{2}=\begin{cases}\frac{4-\sqrt{6}}{2}=x_1 \\ \\  \frac{4+\sqrt{6}}{2}=x_2\end{cases}

I due valori si candidano come soluzioni dell'equazione di partenza, però solo quello che rispetta la condizione x>2 è accettabile, ossia

x_2=\frac{4+\sqrt{6}}{2}

mentre x_1 è da scartare.

In definitiva, possiamo concludere che l'insieme delle soluzioni associato all'equazione

\frac{3+|2-x|}{5}+\frac{1}{2|x|}=1

è S=\left\{\sqrt{\frac{5}{2}}, \ \frac{4+\sqrt{6}}{2}\right\}

Fatto!
Ringraziano: Manuela1
  • Pagina:
  • 1
Os