Equazione fratta con due valori assoluti

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#88759
avt
Manuela1
Punto

Ho tentato più e più volte di risolvere un'equazione fratta con i moduli, ma nonostante ciò non sono stato in grado di ottenere il risultato richiesto dal libro, per questo motivo ho pensato di rivolgermi a voi.

Calcolare le eventuali soluzioni della seguente equazione fratta con i valori assoluti

(3+|2−x|)/(5)+(1)/(2|x|) = 1

Grazie.

#88762
avt
Omega
Amministratore

Prima di determinare le eventuali soluzioni della seguente equazione fratta

(3+|2−x|)/(5)+(1)/(2|x|) = 1

bisogna imporre le condizioni di esistenza richiedendo che il denominatore che contiene l'incognita sia diverso da zero.

C.E.: 2|x| ne 0 → x ne 0

Una volta determinata la condizione che definisce l'insieme di esistenza delle soluzioni, possiamo procedere con i passaggi algebrici che serviranno a esprimere l'equazione in forma normale. Trasportiamo 1 al primo membro

(3+|2−x|)/(5)+(1)/(2|x|)−1 = 0

dopodiché esprimiamo le frazioni a denominatore comune

(2|x|(3+|2−x|)+5−10|x|)/(10|x|) = 0

Per x ne 0 moltiplichiamo i due membri per 10|x| riconducendoci così alla seguente equazione con i moduli

2|x|(3+|2−x|)+5−10|x| = 0

Proprio perché compaiono più valori assoluti, saremo costretti a studiare i segni dei loro argomenti e individuare gli insiemi in cui analizzare l'equazione.

Impostiamo quindi le seguenti disequazioni di primo grado

x ≥ 0 e 2−x ≥ 0

La prima è praticamente già risolta, la seconda invece richiede qualche passaggio in più:

2−x ≥ 0 → −x ≥ −2 → x ≤ 2

Ora siamo in grado di sfruttare la definizione stessa di valore assoluto e analizzare l'equazione in base ai segni degli argomenti. Più precisamente:

- se x < 0, si ha che

|x| = −x e |2−x| = 2−x

pertanto l'equazione

2|x|(3+|2−x|)+5−10|x| = 0

diventa

2(−x)(3+2−x)+5−10(−x) = 0 ; 2x^2+5 = 0

Quella ottenuta è un'equazione pura che non ammette soluzioni reali: notiamo infatti che 2x^2+5 è una somma tra una quantità non negativa (2x^2) e una quantità positiva (5) che non può essere mai uguale a zero.

- Se 0 ≤ x < 2, allora sussistono le seguenti uguaglianze:

|x| = x e |2−x| = 2−x

grazie alle quali l'equazione

2|x|(3+|2−x|)+5−10|x| = 0

si riscrive nella forma equivalente

2x(3+2−x)+5−10x = 0 ; 2x(5−x)+5−10x = 0 ; 5−2x^2 = 0

Ci siamo ricondotti ancora una volta a un'equazione di secondo grado pura, che risolviamo isolando il quadrato al primo membro

5−2x^2 = 0 → x^2 = (5)/(2) → x = ±√((5)/(2))

I valori ottenuti sono due e opposti tra loro, però solo quello che rispetta il vincolo 0 ≤ x < 2 è accettabile, mentre l'altro è da scartare: di conseguenza solo x = √((5)/(2)) è soluzione dell'equazione.

- Se x > 2, intervengono le seguenti uguaglianze

|x| = x e |2−x| = x−2

sfruttando le quali, l'equazione

2|x|(3+|2−x|)+5−10|x| = 0

si riscrive nella forma

2x(3+x−2)+5−10x = 0

Una volta sviluppati i prodotti e sommati tra loro i monomi simili otteniamo l'equazione di secondo grado

2x^2−8x+5 = 0

che è caratterizzata dalla parità del coefficiente di x. Proprio per questo motivo, possiamo avvalerci della formula del delta quarti per ricavare le soluzioni. Poniamo a = 2, b = −8 e c = 5, il delta quarti si ottiene con la seguente relazione

(Δ)/(4) = ((b)/(2))^2−ac = (−(8)/(2))^2−2·5 = 6

ergo, le soluzioni dell'equazione di secondo grado sono:

x_(1,2) = (−(b)/(2)±√((Δ)/(4)))/(a) = (4±√(6))/(2) = (4−√(6))/(2) = x_1 ; (4+√(6))/(2) = x_2

I due valori si candidano come soluzioni dell'equazione di partenza, però solo quello che rispetta la condizione x > 2 è accettabile, ossia

x_2 = (4+√(6))/(2)

mentre x_1 è da scartare.

In definitiva, possiamo concludere che l'insieme delle soluzioni associato all'equazione

(3+|2−x|)/(5)+(1)/(2|x|) = 1

è S = √((5)/(2)), (4+√(6))/(2)

Fatto!

Ringraziano: Manuela1
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