Esercizio: fattorizzazione di un polinomio di 4 termini

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Esercizio: fattorizzazione di un polinomio di 4 termini #8840

avt
lolloviola
Sfera
Avrei bisogno di una mano per scomporre un polinomio nella sola indeterminata x: il mio problema risiede nel fatto che non capisco quale tecnica io debba usare. Ho chiesto a un mio amico e mi ha suggerito di usare il metodo del raccoglimento parziale, la regola per scomporre le differenze di quadrati e quella per scomporre i quadrati di binomio. In che modo posso procedere?

Utilizzare le opportune tecniche di scomposizione per fattorizzare il polinomio:

x^4+2x^3-2x-1

Grazie.
 
 

Esercizio: fattorizzazione di un polinomio di 4 termini #8904

avt
Omega
Amministratore
Prima di scomporre il polinomio

x^4+2x^3-2x-1

occorre ordinare i termini in modo che sia possibile applicare la giusta tecnica di fattorizzazione: l'esercizio richiede la capacità di prevedere quale possa essere la migliore strategia risolutiva.

Se riscriviamo

x^4+2x^3-2x-1=

nella forma (equivalente, in forza della proprietà commutativa)

=x^4-1+2x^3-2x=

possiamo usare

- la regola sulla differenza di due quadrati per esprimere x^4-1 nella forma (x^2-1)(x^2+1);

- il metodo del raccoglimento parziale per mettere in evidenza 2x tra 2x^3\ \mbox{e}\ -2x;

Alla luce di queste considerazioni, il polinomio precedente si esprime nella forma

=(x^2-1)(x^2+1)+2x(x^2-1)=

da cui si evince che x^2-1 è il fattore comune ai termini (x^2-1)(x^2+1)\ \mbox{e}\ 2x(x^2-1). Se operiamo il suo raccoglimento totale, il polinomio diventa:

\\ =(x^2-1)[(x^2+1)+2x]= \\ \\ =(x^2-1)[x^2+2x+1]=

Non abbiamo ancora finito! Il fattore x^2-1 può essere ulteriormente scomposto secondo la regola sulla differenza di quadrati, così come può essere scomposto x^2+2x+1, essendo il quadrato del binomio x+1.

=(x-1)(x+1)(x+1)^2=

da cui

=(x-1)(x+1)^3

Abbiamo finito.
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Os