Scomposizione di una differenza di quadrati reiterata

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Scomposizione di una differenza di quadrati reiterata #8820

avt
xavier310
Sfera
Ho bisogno del vostro aiuto per scomporre un binomio usando la regola per la differenza di due quadrati. Il problema è che il polinomio da scomporre è una differenza di potenze ottave. Potreste aiutarmi?

Scomporre il seguente polinomio come prodotto di fattori a coefficienti razionali con la regola per la differenza di due quadrati.

a^{8}-b^{8}

Grazie mille!
Ringraziano: Omega
 
 

Scomposizione di una differenza di quadrati reiterata #8822

avt
nando
Frattale
L'esercizio ci chiede di scomporre il polinomio

a^{8}-b^{8}

con la regola per la differenza di due quadrati. Analizziamo l'espressione: essa è una differenza di potenze ottave che però è riconducibile a una differenza tra due quadrati con le opportune proprietà delle potenze.

La regola sulla potenza di potenza, infatti, consente di scrivere a^{8}\ \mbox{e} \ b^{8} come segue:

\\ a^{8}=a^{4\cdot 2}=(a^4)^{2} \\ \\ \mbox{e} \\ \\ b^{8}=b^{4\cdot 2}=(b^4)^2

pertanto la differenza iniziale si può esprimere nella forma:

a^{8}-b^{8}=(a^{4})^2-(b^{4})^2=

Ci siamo! (a^{4})^2-(b^{4})^2 è effettivamente la differenza di due quadrati, le cui basi sono a^4\ \mbox{e} \ b^4. In accordo con la regola per la differenza di quadrati, l'espressione diventa:

=(a^4+b^4)(a^4-b^4)

Si osservi che il primo fattore della scomposizione, a^4+b^4, è una somma di due quadrati che non può essere ulteriormente scomposta come prodotto di polinomi a coefficienti razionali. Il secondo fattore, a^4-b^4, può essere riscritto come differenza di due quadrati, infatti

a^4=(a^2)^2 \ \ \ \mbox{e} \ \ \ b^4=(b^2)^2

di conseguenza

(a^4+b^4)(a^4-b^4)=(a^4+b^4)(a^2+b^2)(a^2-b^2)=

Dei tre fattori, solo a^2-b^2 è fattorizzabile: è la differenza tra i quadrati di a\ \mbox{e} \ b.

=(a^4+b^4)(a^2+b^2)(a+b)(a-b)

In conclusione

a^{8}-b^{8}=(a^4+b^4)(a^2+b^2)(a+b)(a-b)

Abbiamo finito.
Ringraziano: Omega, xavier310
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Os