Scomposizione di una differenza di quadrati reiterata

Ho bisogno del vostro aiuto per scomporre un binomio usando la regola per la differenza di due quadrati. Il problema è che il polinomio da scomporre è una differenza di potenze ottave. Potreste aiutarmi?

Scomporre il seguente polinomio come prodotto di fattori a coefficienti razionali con la regola per la differenza di due quadrati.



Grazie mille!

L'esercizio ci chiede di scomporre il polinomio



con la regola per la differenza di due quadrati. Analizziamo l'espressione: essa è una differenza di potenze ottave che però è riconducibile a una differenza tra due quadrati con le opportune proprietà delle potenze.

La regola sulla potenza di potenza, infatti, consente di scrivere come segue:



pertanto la differenza iniziale si può esprimere nella forma:



Ci siamo! è effettivamente la differenza di due quadrati, le cui basi sono . In accordo con la regola per la differenza di quadrati, l'espressione diventa:



Si osservi che il primo fattore della scomposizione, , è una somma di due quadrati che non può essere ulteriormente scomposta come prodotto di polinomi a coefficienti razionali. Il secondo fattore, , può essere riscritto come differenza di due quadrati, infatti



di conseguenza



Dei tre fattori, solo è fattorizzabile: è la differenza tra i quadrati di .



In conclusione



Abbiamo finito.