Calcolare i coefficienti di alcuni termini con binomio di Newton

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Calcolare i coefficienti di alcuni termini con binomio di Newton #88143

avt
Icarus
Punto
Mi servirebbe il vostro aiuto per calcolare i coefficienti di determinate potenze che almeno dal punto di vista teorico compaiono nello sviluppo della potenza di un binomio. Potreste aiutarmi per favore?

Determinare i coefficienti di x^{22}, \ x^{28}\ \mbox{e} \ x^{31} che compaiono nello sviluppo della seguente potenza di binomio:

\left(32x^3-\frac{1}{2}x\right)^{20}

Grazie mille.
 
 

Calcolare i coefficienti di alcuni termini con binomio di Newton #88383

avt
Ifrit
Amministratore
Il nostro compito consiste nel calcolare i coefficienti di x^{22}, \ x^{28} \ \mbox{e} \ x^{31} che compaiono nello sviluppo della potenza di binomio:

\left(32x^3-\frac{1}{2}x\right)^{20}

Per poter rispondere agevolmente all'esercizio, avvaliamoci della regola sul binomio di Newton

(a+b)^{n}=\sum_{k=0}^{n}{n\choose k}a^{n-k}b^{k}

dove a\ \mbox{e} \ b sono rispettivamente il primo e il secondo addendo del binomio, n è l'esponente della potenza.

Per quanto concerne il simbolo matematico {n\choose k}, esso indica il cosiddetto coefficiente binomiale ed è definito dalla relazione

{n\choose k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}

in cui n\ \mbox{e} \ k sono due numeri naturali che realizzano la doppia disuguaglianza 0\le k\le n e n! è il fattoriale di n.

Sottolineiamo comunque che per rispondere correttamente al quesito, bisogna saper operare con le somma

Nel caso considerato

a=32x^3 \ \ \ , \ \ \ b=-\frac{1}{2}x\ \ \ \mbox{e} \ \ \ n=20

pertanto, operando le sostituzioni nello sviluppo di Newton, ricaviamo:

\left(32x^3-\frac{1}{2}x\right)^{20}=\sum_{k=0}^{20}{20\choose k}(32x^3)^{20-k}\cdot\left(-\frac{1}{2}x\right)^{k}=

Usiamo a dovere le proprietà delle potenze per poter semplificare l'espressione, in particolare:

- usiamo la regola sulla potenza di un prodotto per distribuire gli esponenti a ciascun termine delle basi:

=\sum_{k=0}^{20}{20\choose k}(-1)^{k}\frac{32^{20-k}}{2^{k}}(x^{3})^{20-k}x^{k} =

- usiamo la regola per le potenze di potenze per sviluppare (x^{3})^{20-k}

\\ =\sum_{k=0}^{20}{20\choose k}(-1)^{k}\cdot\frac{32^{20-k}}{2^{k}}\cdot x^{60-3k}x^{k}

Le proprietà delle potenze, inoltre, giustificano le seguenti uguaglianze

\\ \frac{32^{20-k}}{2^{k}}=\frac{(2^5)^{20-k}}{2^{k}}=2^{100-5k-k}=2^{100-6k} \\ \\ \mbox{e} \\ \\ x^{60-3k}x^{k}=x^{60-3k+k}=x^{60-2k}

con cui la sommatoria:

\sum_{k=0}^{20}{20\choose k}(-1)^{k}\cdot\frac{32^{20-k}}{2^{k}}\cdot x^{60-3k}x^{k}=

diventa

\sum_{k=0}^{20}{20\choose k}(-1)^{k}\cdot 2^{100-6k}\cdot x^{60-2k}

Da essa deduciamo che:

- i coefficienti associate alle potenze del tipo x^{60-2k} sono dati da:

{20\choose k}(-1)^k\cdot 2^{100-6k};

- i coefficienti dei termini che non sono nella forma x^{60-2k} sono invece zero.

L'unico parametro che manca è k, ma possiamo determinarlo sfruttando le informazioni fornite dalla traccia.

Determiniamo k per calcolare il coefficiente di x^{22} imponendo l'uguaglianza tra 22 (esponente di x^{22}) e 60-2k (esponente di x^{60-2k})

60-2k=22 \ \ \ \to \ \ \ k=19

di conseguenza il coefficiente di x^{22} è:

\\ {20\choose 19}\cdot (-1)^{19}\cdot 2^{100-6\cdot 19}=\frac{20!}{19!\cdot (20-19)!}\cdot (-1)\cdot 2^{-14}=\\ \\ \\ =(-1)\cdot\frac{20\cdot 19!}{19!\cdot 1!}\cdot 2^{-14}=-20\cdot 2^{-14}=-\frac{5}{4096}

Determiniamo, se esiste, l'intero k per calcolare il coefficiente di x^{28}: bisogna richiedere che l'esponete di x^{28} sia uguale a quello della potenza x^{60-2k}

60-2k=28 \ \ \ \to \ \ \ k=16

di conseguenza il coefficiente associato a x^{28} è:

\\ {20\choose 16}\cdot (-1)^{16}\cdot 2^{100-6\cdot 16}=\frac{20!}{16!\cdot (20-16)!}\cdot 1\cdot 2^{4}= \\ \\ \\ =\frac{20\cdot 19\cdot 18\cdot 17\cdot 16!}{16!\cdot 4!}\cdot  2^{4} =\frac{20\cdot 19\cdot 18\cdot 17}{4\cdot 3\cdot 2}\cdot 2^{4}=77 \ 520

Occupiamoci dell'ultimo: dobbiamo determinare il coefficiente associato alla potenza x^{31}, seguendo lo stesso ragionamento che abbiamo usato per i casi precedenti.

Dobbiamo determinare l'intero k (se esiste) che realizza l'equazione che si ottiene uguagliando gli esponenti dei termini x^{31}\ \mbox{e}\ x^{60-2k}; nel caso non esistesse, il coefficiente associato è zero.

60-2k=31 \ \ \ \to \ \ \ k=\frac{29}{2}

Chiaramente k=\frac{29}{2} non è un intero, pertanto il coefficiente di x^{31} è semplicemente 0.

Ecco fatto!
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