Equazione con due radici di indice 3 #88137

avt
F3l1x
Cerchio
Avrei bisogno di una mano per calcolare le soluzioni di un'equazione irrazionale con due radicali a indice dispari. Il mio problema in realtà risiede nei calcoli: sicuramente commetto qualche errore perché non ottengo gli stessi risultati del libro.

Risolvere la seguente equazione irrazionale

[3]√((4x-1)^3-5x^3) = [3]√(56x^2(x-1)+8x-1)

Grazie.
 
 

Equazione con due radici di indice 3 #88170

avt
Omega
Amministratore
Il nostro obiettivo consiste nel risolvere un'equazione irrazionale in cui sono presenti due radici con indice dispari.

[3]√((4x-1)^3-5x^3) = [3]√(56x^2(x-1)+8x-1)

A differenza di quanto succede con le equazioni con radici a indice pari, qui non dovremo imporre né le condizioni di esistenza, né la condizione di concordanza: è sufficiente elevare al cubo ciascun membro così da cancellare le radici cubiche

(4x-1)^3-5x^3 = 56x^2(x-1)+8x-1

A questo punto non ci resta che eseguire i calcoli: a sinistra sviluppiamo il cubo di binomio, a destra eseguiremo il prodotto

64x^3-48x^2+12x-1-5x^3 = 56x^3-56x^2+8x-1

Trasportiamo i termini al primo membro e sommiamo tra loro i monomi simili

3x^3+8x^2+4x = 0

Ci siamo ricondotti a un'equazione di grado superiore al secondo che possiamo risolvere scomponendo il polinomio al primo membro. Mettiamo in evidenza il fattore comune x

x(3x^2+8x+4) = 0

e sfruttiamo la legge di annullamento del prodotto con cui ci riconduciamo alle seguenti equazioni

x = 0 , 3x^2+8x+4 = 0

La prima è un'equazione già risolta, la seconda è invece un'equazione di secondo grado con coefficienti

a = 3 , b = 8 , c = 4

Poiché il coefficiente di x è un numero pari, possiamo avvalerci della formula del delta quarti

(Δ)/(4) = ((b)/(2))^2-ac = 4^2-3·4 = 4

e ricavare le soluzioni con la formula ridotta

x_(1,2) = (-(b)/(2)±√((Δ)/(4)))/(a) = (-4±√(4))/(3) = (-4±2)/(3) = (-4-2)/(3) = -2 = x_1 ; (-4+2)/(3) = -(2)/(3) = x_2

In definitiva, possiamo concludere che l'equazione irrazionale ammette tre soluzioni

x_0 = 0 , x_1 = -2 , x_2 = -(2)/(3)

pertanto il suo insieme soluzione è

S = -2, -(2)/(3), 0

Abbiamo terminato.
Ringraziano: CarFaby, F3l1x
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Os