Equazione con due radici di indice 3 #88137

avt
F3l1x
Cerchio
Avrei bisogno di una mano per calcolare le soluzioni di un'equazione irrazionale con due radicali a indice dispari. Il mio problema in realtà risiede nei calcoli: sicuramente commetto qualche errore perché non ottengo gli stessi risultati del libro.

Risolvere la seguente equazione irrazionale

\sqrt[3]{(4x-1)^3-5x^3}=\sqrt[3]{56x^2(x-1)+8x-1}

Grazie.
 
 

Equazione con due radici di indice 3 #88170

avt
Omega
Amministratore
Il nostro obiettivo consiste nel risolvere un'equazione irrazionale in cui sono presenti due radici con indice dispari.

\sqrt[3]{(4x-1)^3-5x^3}=\sqrt[3]{56x^2(x-1)+8x-1}

A differenza di quanto succede con le equazioni con radici a indice pari, qui non dovremo imporre né le condizioni di esistenza, né la condizione di concordanza: è sufficiente elevare al cubo ciascun membro così da cancellare le radici cubiche

(4x-1)^3-5x^3=56x^2(x-1)+8x-1

A questo punto non ci resta che eseguire i calcoli: a sinistra sviluppiamo il cubo di binomio, a destra eseguiremo il prodotto

64x^3-48x^2+12x-1-5x^3=56x^3-56x^2+8x-1

Trasportiamo i termini al primo membro e sommiamo tra loro i monomi simili

3x^3+8x^2+4x=0

Ci siamo ricondotti a un'equazione di grado superiore al secondo che possiamo risolvere scomponendo il polinomio al primo membro. Mettiamo in evidenza il fattore comune x

x(3x^2+8x+4)=0

e sfruttiamo la legge di annullamento del prodotto con cui ci riconduciamo alle seguenti equazioni

x=0 \ \ \  , \ \ \ 3x^2+8x+4=0

La prima è un'equazione già risolta, la seconda è invece un'equazione di secondo grado con coefficienti

a=3 \ \ \ , \ \ \ b=8 \ \ \ , \ \ \ c=4

Poiché il coefficiente di x è un numero pari, possiamo avvalerci della formula del delta quarti

\frac{\Delta}{4}=\left(\frac{b}{2}\right)^2-ac=4^2- 3\cdot 4=4

e ricavare le soluzioni con la formula ridotta

\\ x_{1,2}=\frac{-\frac{b}{2}\pm\sqrt{\frac{\Delta}{4}}}{a}=\frac{-4\pm\sqrt{4}}{3}= \\ \\ \\ =\frac{-4\pm 2}{3}=\begin{cases}\frac{-4-2}{3}=-2=x_1\\ \\ \frac{-4+2}{3}=-\frac{2}{3}=x_2\end{cases}

In definitiva, possiamo concludere che l'equazione irrazionale ammette tre soluzioni

x_0=0 \ \ \ ,\  \ \ x_1=-2 \ \ \ , \ \ \ x_2=-\frac{2}{3}

pertanto il suo insieme soluzione è

S=\left\{-2, \ -\frac{2}{3}, \ 0\right\}

Abbiamo terminato.
Ringraziano: CarFaby, F3l1x
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Os