Buongiorno! Mi aiutate con queste due disequazioni irrazionali...Grazie!

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Buongiorno! Mi aiutate con queste due disequazioni irrazionali...Grazie! #8794

avt
Nello
Cerchio
x >= radicequadrata (x^2-4) - 4

4 radicequadrata(x-3) < 3


Grazie!!!!
 
 

Re: Buongiorno! Mi aiutate con queste due disequazioni irrazionali...Grazie! #8856

avt
Ifrit
Amministratore
Ciao Nello, iniziamo:

1. x ≥ √(x^2-4)-4

Portiamo il -4 al primo membro:

x+4 ≥ √(x^2-4)

Scrivendola in forma canonica:

√(x^2-4) ≤ x+4

La precedente disequazione si presenta nella forma:

√(f(x)) ≤ g(x)

che equivale al sistema:


f(x) ≥ 0 ; g(x) ≥ 0 ; f(x) ≤ g^2(x)


Nel nostro caso f(x) = x^2-4, g(x) = x+4

Il sistema quindi si riscrive come:

x^2-4 ≥ 0 (I) ; x+4 ≥ 0 (II) ; x^2-4 ≤ (x+4)^2 (III)

Risolviamo le disequazioni

I)x^2-4 ≥ 0 ⇒ x^2 ≥ 4 ⇔ x ≤ -2 ∨ x ≥ 2

II) , , x+4 ≥ 0 ⇒ x ≥ -4

III) x^2-4 ≤ x^2+8x+16

Portiamo tutto al primo membro:

-8x-20 ≤ 0 ⇒ 8x ≥ -20 ⇒ x ≥ -(20)/(8) = -(5)/(2)

Intersechiamo gli intervalli:

I : _______(-4)__(-5/2)______ (-2)................(2)_________________

II :......(-4)___(-5/2)______ (-2)____________________________________

III:.............(-5/2)_______________________________________________

Int:.............(-5/2)_______(-2).................(2)_________________

L'insieme soluzione è quindi

S:-(5)/(2) ≤ x ≤ -2 ∨ x ≥ 2

Andiamo con la seconda disequazione:

4√(x-3) < 3

Il primo passo da fare è isolare la radice:

√(x-3) < (3)/(4)

Potremmo utilizzare lo schema precedente, ma visto che al secondo membro abbiamo una costante, non è necessario.

Troviamo la condizione di realtà della radice, imponendo che il radicando sia maggiore o uguale a zero:

x-3 ≥ 0 ⇒ x ≥ 3 condizione di realtà

Fatto questo possiamo risolvere la disequazione

√(x-3) < (3)/(4)

eleviamo al quadrato membro a membro:

x-3 < (9)/(16)

Isoliamo la x :

x < (9)/(16)+3 ⇒ x < (57)/(16) (1.1)

Ottimo, abbiamo finito. Intersechiamo (1.1) con la condizione di realtà:

CR : ...........(3)____________________(57/16)_______________

(1.1):__________________________________(57/16)...............

Int :............(3)____________________(57/16)...............

L'insieme soluzione è quindi

S: 3 ≤ x < (57)/(16)
Ringraziano: Omega, Pi Greco, frank094, Nello
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