Esercizio sulla regola somma per differenza

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Esercizio sulla regola somma per differenza #87858

avt
Nico163
Punto
Chiedo il vostro aiuto per semplificare un'espressione letterale mediante i prodotti notevoli. So per certo che si debba utilizzare la regola sul prodotto della somma di due monomi per la loro differenza, perché è l'unico prodotto che il nostro insegnante ci ha spiegato.

Semplificare la seguente espressione letterale e a coefficienti fratti mediante gli opportuni prodotti notevoli.

\left(\frac{ab}{2}-\frac{cd}{2}\right)\left(\frac{ab}{2}+\frac{cd}{2}\right)\left(\frac{a^2b^2}{4}+\frac{c^2d^2}{4}\right)

Grazie mille.
 
 

Esercizio sulla regola somma per differenza #87876

avt
Galois
Amministratore
Consideriamo l'espressione letterale a coefficienti fratti

\left(\frac{ab}{2}-\frac{cd}{2}\right)\left(\frac{ab}{2}+\frac{cd}{2}\right)\left(\frac{a^2b^2}{4}+\frac{c^2d^2}{4}\right)

Il nostro compito consiste nell'applicare gli opportuni prodotti notevoli così da esprimerla nella forma più semplice possibile.

Prima di buttarci a capofitto nei calcoli, analizziamo come si presenta l'espressione: compaiono due prodotti, il primo dei quali è chiaramente il prodotto tra la somma e la differenza dei monomi \frac{ab}{2} \ \mbox{e} \ \frac{cd}{2}. In virtù della regola:

(A+B)(A-B)=A^2-B^2

possiamo scrivere la seguente uguaglianza:

\\ \left(\frac{ab}{2}-\frac{cd}{2}\right)\left(\frac{ab}{2}+\frac{cd}{2}\right)\left(\frac{a^2b^2}{4}+\frac{c^2d^2}{4}\right)= \\ \\ \\ =\left[\left(\frac{ab}{2}\right)^2-\left(\frac{cd}{2}\right)^2\right]\left(\frac{a^2b^2}{4}+\frac{a^2b^2}{4}\right)=

Esplicitiamo i quadrati dei monomi interni alle parentesi quadre usando le proprietà delle potenze

=\left[\frac{a^2b^2}{4}-\frac{c^2d^2}{4}\right]\left(\frac{a^2b^2}{4}+\frac{c^2d^2}{4}\right)=

Ci siamo ricondotti al prodotto della somma tra i monomi \frac{a^2b^2}{4} \ \mbox{e} \ \frac{c^2d^2}{4} che possiamo calcolare riutilizzando il prodotto notevole!

=\left(\frac{a^2b^2}{4}\right)^2-\left(\frac{c^2d^2}{4}\right)^2=

Sfruttiamo la regola sulla potenza di una frazione per distribuire l'esponente 2 sia al numeratore che al denominatore

=\frac{(a^2b^2)^2}{16}-\frac{(c^2d^2)^2}{16}=

Inoltre, per la regola sulla potenza di un prodotto, possiamo distribuire gli esponenti a ciascun fattore delle basi

=\frac{(a^2)^2(b^2)^2}{16}-\frac{(c^2)^2(d^2)^2}{16}=

Calcoliamo infine le potenze di potenze e riportiamo il risultato

=\frac{a^{2\cdot 2}b^{2\cdot 2}}{16}-\frac{c^{2\cdot 2}d^{2\cdot 2}}{16}=\frac{a^{4}b^{4}}{16}-\frac{c^4d^4}{16}

Abbiamo finito.
Ringraziano: Omega, Pi Greco, CarFaby, Nico163, asiabianchi
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Os