Esercizio sulla regola somma per differenza

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Esercizio sulla regola somma per differenza #87858

avt
Nico163
Punto
Chiedo il vostro aiuto per semplificare un'espressione letterale mediante i prodotti notevoli. So per certo che si debba utilizzare la regola sul prodotto della somma di due monomi per la loro differenza, perché è l'unico prodotto che il nostro insegnante ci ha spiegato.

Semplificare la seguente espressione letterale e a coefficienti fratti mediante gli opportuni prodotti notevoli.

((ab)/(2)-(cd)/(2))((ab)/(2)+(cd)/(2))((a^2b^2)/(4)+(c^2d^2)/(4))

Grazie mille.
 
 

Esercizio sulla regola somma per differenza #87876

avt
Galois
Amministratore
Consideriamo l'espressione letterale a coefficienti fratti

((ab)/(2)-(cd)/(2))((ab)/(2)+(cd)/(2))((a^2b^2)/(4)+(c^2d^2)/(4))

Il nostro compito consiste nell'applicare gli opportuni prodotti notevoli così da esprimerla nella forma più semplice possibile.

Prima di buttarci a capofitto nei calcoli, analizziamo come si presenta l'espressione: compaiono due prodotti, il primo dei quali è chiaramente il prodotto tra la somma e la differenza dei monomi (ab)/(2) e (cd)/(2). In virtù della regola:

(A+B)(A-B) = A^2-B^2

possiamo scrivere la seguente uguaglianza:

((ab)/(2)-(cd)/(2))((ab)/(2)+(cd)/(2))((a^2b^2)/(4)+(c^2d^2)/(4)) = [((ab)/(2))^2-((cd)/(2))^2]((a^2b^2)/(4)+(a^2b^2)/(4)) =

Esplicitiamo i quadrati dei monomi interni alle parentesi quadre usando le proprietà delle potenze

= [(a^2b^2)/(4)-(c^2d^2)/(4)]((a^2b^2)/(4)+(c^2d^2)/(4)) =

Ci siamo ricondotti al prodotto della somma tra i monomi (a^2b^2)/(4) e (c^2d^2)/(4) che possiamo calcolare riutilizzando il prodotto notevole!

= ((a^2b^2)/(4))^2-((c^2d^2)/(4))^2 =

Sfruttiamo la regola sulla potenza di una frazione per distribuire l'esponente 2 sia al numeratore che al denominatore

= ((a^2b^2)^2)/(16)-((c^2d^2)^2)/(16) =

Inoltre, per la regola sulla potenza di un prodotto, possiamo distribuire gli esponenti a ciascun fattore delle basi

= ((a^2)^2(b^2)^2)/(16)-((c^2)^2(d^2)^2)/(16) =

Calcoliamo infine le potenze di potenze e riportiamo il risultato

= (a^(2·2)b^(2·2))/(16)-(c^(2·2)d^(2·2))/(16) = (a^(4)b^(4))/(16)-(c^4d^4)/(16)

Abbiamo finito.
Ringraziano: Omega, Pi Greco, CarFaby, Nico163, asiabianchi
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Os