Determinare mcm e MCD di tre polinomi scomponibili

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Determinare mcm e MCD di tre polinomi scomponibili #87680

avt
FAQ
Punto
Mi è capitato un esercizio in cui mi viene chiesto di calcolare il massimo comune divisore e il minimo comune multiplo di alcuni polinomi. Non riuscendo a scomporli in fattori irriducibili, non sono in grado di concludere l'esercizio, però ho notato una cosa: i polinomi sono tutti differenza tra due potenze e sospetto si debbano usare i prodotti notevoli.

Determinare il massimo comune divisore e il minimo comune multiplo dei seguenti polinomi, dopo averli scomposi in fattori irriducibili.

x^{6}-1\ \ \ ; \ \ \ x^3-1 \ \ \ ;  \ \ \ x^2-1

Grazie mille!
 
 

Determinare mcm e MCD di tre polinomi scomponibili #87686

avt
Galois
Coamministratore
Consideriamo i polinomi

x^{6}-1\ \ \ ; \ \ \ x^3-1 \ \ \ ;  \ \ \ x^2-1

e iniziamo a scomporli, usando le opportune tecniche di scomposizione.

Il binomio x^{6}-1 è la differenza dei quadrati di x^3 \ \mbox{e di}\ 1, e in concordanza con il prodotto notevole omonimo, scriviamo:

x^{6}-1=(x^3-1)(x^3+1)=

Osserviamo, inoltre, che x^3-1 è la differenza dei cubi di x\ \mbox{e} \ 1, mentre x^3+1 è la somma dei cubi di x\ \mbox{e} \ 1, pertanto:

=(x-1)(x^2+x+1)(x+1)(x^2-x+1)

Il primo polinomio è scomposto, infatti sia x^2+x+1, sia x^2-x+1 sono falsi quadrati e sono irriducibili.

Il polinomio x^3-1 lo abbiamo già scomposto: è la differenza dei cubi di x\ \mbox{e} \ 1;

Il polinomio x^2-1 è invece la differenza dei quadrati di x\ \mbox{e} \ 1, per cui:

x^2-1=(x-1)(x+1)

Avendo scomposto tutti i polinomi, il calcolo del loro MCD e mcm è pressoché immediato: basta attenersi alle seguenti regole.

Il massimo comune divisore tra due o più polinomi, scomposti in fattori irriducibili, è dato dal prodotto dei fattori comuni, presi una sola volta e con il più piccolo esponente.

Il minimo comune multiplo tra due o più polinomi, scomposti in fattori irriducibili, è dato dal prodotto dei fattori comuni e non comuni, presi una sola volta e con il più grande esponente.

Riportiamo uno di seguito all'altro le scomposizioni

\\ x^6-1=(x-1)(x^2+x+1)(x+1)(x^2-x+1) \\ \\ x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)\\ \\ x^2-1=(x-1)(x+1)

dopodiché esplicitiamo il loro massimo comune divisore e il loro minimo comune multiplo.

\\ MCD=(x-1) \\ \\ \mbox{mentre} \\ \\ mcm=(x-1)(x+1)(x^2+x+1)(x^2-x+1)

Ecco fatto!
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