Equazione con due radici e radicandi di grado 2 e 3

Prima di postare leggi le regole del Forum. Puoi anche leggere le ultime discussioni.

Equazione con due radici e radicandi di grado 2 e 3 #87387

avt
feddy
Cerchio
Nonostante abbia tentato più volte di risolvere la seguente equazione irrazionale con due radici quadrate non ho proprio idea di come ottenere le soluzioni che propone il testo, ecco perché ho bisogno del vostro aiuto.

Risolvere la seguente equazione irrazionale

\sqrt{3(x^2-1)}=\sqrt{x-x^3}

Grazie.
 
 

Equazione con due radici e radicandi di grado 2 e 3 #87398

avt
Iusbe
Templare
L'esercizio ci chiede di risolvere l'equazione irrazionale

\sqrt{3(x^2-1)}=\sqrt{x-x^3}

nella quale compaiono due radici quadrate. Proprio perché l'indice delle due radici è pari, dobbiamo imporre le condizioni di esistenza, richiedendo che i radicandi siano contemporaneamente maggiori o al più uguali a zero.

3(x^2-1)\ge 0 \ \ \ \mbox{e} \ \ \ x-x^3\ge 0

Le due relazioni devono valere contemporaneamente pertanto formeranno il seguente sistema di disequazioni

\begin{cases}3(x^2-1)\ge 0 \\ \\ x-x^3\ge 0\end{cases}

Risolviamo singolarmente le due relazioni, partendo alla disequazione di secondo grado

3(x^2-1)\ge 0 \ \ \ \to \ \ \ x^2\ge 1

il cui insieme soluzione è

x\le -1 \ \ \ \vee \ \ \ x\ge 1

Per quanto concerne

x-x^3\ge 0

essa è una disequazione di grado superiore al secondo che possiamo risolvere mediante scomposizione. Raccogliamo il fattore comune x

x(1-x^2)\ge 0

e fattorizziamo la differenza di quadrati come prodotto tra la somma e la differenza di 1 \ \mbox{e} \ x

x(1-x)(1+x)\ge 0

Studiamo singolarmente il segno dei tre fattori impostando le disequazioni

\\ x\ge 0 \\ \\ 1-x\ge 0 \ \ \ \to \ \ \ x\le 1 \\ \\ 1+x\ge 0 \ \ \ \to \ \ \ x\ge -1

e, una volta rappresentata la tabella dei segni, deduciamo che l'insieme soluzione della disequazione è

x\le -1 \ \ \ \vee \ \ \ 0\le x\le 1

Ricaviamo quindi che il sistema di disequazioni si riscrive come

\begin{cases}x\le -1 \ \ \ \vee \ \ \ x\ge 1 \\ \\ x\le -1 \ \ \ \vee \ \ \ 0\le x\le 1\end{cases}

Intersecando le due relazioni, scopriamo che il sistema è soddisfatto per:

x\le -1 \ \ \ \vee \ \ \ x=1

Essi rappresentano i vincoli che definiscono l'insieme di esistenza delle soluzioni, o scritto in altri termini sono le cosiddette condizioni di esistenza

C.E.:\ x\le -1 \ \ \ \vee \ \ \ x=1

Occupiamoci dell'equazione irrazionale ed eleviamo i due membri al quadrato al fine di cancellare le radici quadrate

3(x^2-1)=x-x^3

ricavando così un'equazione di grado superiore al secondo che risolveremo mediante scomposizione.

3(x^2-1)-x+x^3=0

Raccogliamo parzialmente x negli ultimi due addendi

3(x^2-1)+x(x^2-1)=0

inoltre mettiamo in evidenza x^2-1

(x^2-1)(3+x)=0

A questo punto possiamo fare intervenire la legge di annullamento del prodotto: il prodotto al primo membro è nullo se e solo se è pari a zero almeno uno dei fattori che lo compongono

x^2-1=0 \ \ \ , \ \ \ x+3=0

La prima non è altro che un'equazione pura, di soluzione immediata

x^2-1= 0 \ \ \ \to \ \ \ x^2=1 \ \ \ \to \ \ \ x=\pm 1

La seconda è invece una semplicissima equazione di primo grado

x+3=0 \ \ \ \to \ \ \ x=-3

In definitiva, abbiamo ottenuto tre valori

x_0=-3 \ \ \ , \ \ \ x_1= -1  \ \ \ ,\ \ \ x_2=1

che diventano soluzioni dell'equazione irrazionale se e solo se rispettano le condizioni di esistenza. È sufficiente un semplice sguardo per capire che i tre valori rispettano le C.E. pertanto siamo autorizzati a concludere che sono soluzioni di

\sqrt{3(x^2-1)}=\sqrt{x-x^3}

Ecco fatto!
Ringraziano: Omega, Pi Greco, CarFaby, feddy
  • Pagina:
  • 1
Os