Equazione trigonometrica con confronto tra seni

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Equazione trigonometrica con confronto tra seni #8676

avt
luciaaa
Cerchio
Ho iniziato da poco tempo lo studio delle equazioni goniometriche che si risolvono per confronto e, sebbene abbia studiato la teoria, non sono in grado di applicarla come si deve per ottenere le soluzioni.

Risolvere per confronto la seguente equazione goniometrica

\sin(2x)=\sin(3x)

Grazie.
 
 

Equazione trigonometrica con confronto tra seni #8725

avt
Ifrit
Amministratore
Consideriamo l'equazione goniometrica

\sin(2x)=\sin(3x)

Essa si presenta nella forma \sin(f(x))=\sin(g(x)) che, secondo la teoria è un'equazione equivalente alle seguenti:

f(x)=g(x)+2k\pi \ \ \ \vee \ \ \ f(x)=\pi-g(x)+2k\pi

dove k è un parametro che varia nell'insieme dei numeri interi, mentre \vee è il simbolo matematico che individua il connettivo logico "or".

Volendo tradurre a parole, la regola si enuncia come segue: due angoli hanno lo stesso seno se differiscono di un numero intero di angoli giri, oppure se uno di essi differisce per un numero intero di angoli giri dal supplementare dell'altro.

Nel caso considerato le equazioni equivalenti a

\sin(2x)=\sin(3x)

sono

2x=3x+2k\pi \ \ \ \vee \ \ \ 2x=\pi-3x+2k\pi \ \ \ \mbox{con} \ k\in\mathbb{Z}

Esse sono essenzialmente due equazioni di primo grado nell'incognita x.

Risolviamo la prima

2x=3x+2k\pi \ \ \ \to \ \ \ -x=2k\pi \ \ \ \to \ \ \ x=-2k\pi

Per quanto concerne la seconda, ecco i passaggi da seguire:

2x=\pi-3x+2k\pi \ \ \ \to \ \ \ 5x=\pi+2k\pi \ \ \ \to \ \ \ x=\frac{\pi}{5}+\frac{2k\pi}{5}

In definitiva, siamo in grado di affermare che l'equazione goniometrica

\sin(2x)=\sin(3x)

è soddisfatta da due famiglie di soluzioni:

x=-2k\pi \ \ \ , \ \ \ x=\frac{\pi}{5}+\frac{2k\pi}{5}

al variare di k\in\mathbb{Z}.

Abbiamo fatto!
Ringraziano: Omega, Pi Greco, Ifrit, luciaaa
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Os