Disequazione radicale fratta con doppio modulo

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Disequazione radicale fratta con doppio modulo #8674

avt
ild0tt0re
Cerchio
Buona sera emt sto risolvendo la seguente disequazione bestiolina: si tratta di una disequazione fratta e irrazionale, in cui compaiono due moduli

\sqrt{\frac{|x|-1}{x^2-1}}\geq  \frac{x+2}{|x|+1}

Non ho le soluzioni purtroppo, e nemmeno la più pallida idea di come risolverla. Voi come fareste? Ma soprattutto che risultati vi escono?
 
 

Re: Disequazione radicale fratta con doppio modulo #8766

avt
frank094
Maestro
Ciao Ild0tt0re, vediamo subito come risolvere .. i conti saranno veramente terribili emt iniziamo!

\sqrt{\frac{|x|-1}{x^2-1}}\geq  \frac{x+2}{|x|+1}

Si tratta chiaramente di una disequazione irrazionale nella forma

\sqrt{f(x)} \geq g(x)

perciò la soluzione è data dall'unione dei due sistemi

\left\{  \begin{array}{l l} f(x) \geq 0 \\ g(x)< 0 \end{array} \right. \qquad , \qquad \left\{  \begin{array}{l l} f(x) \geq 0 \\ g(x) \geq 0 \\ f(x) > [g(x)]^2 \end{array} \right.

Iniziamo a risolvere le disequazioni ( procederò con lo stesso ordine dei sistemi ); la prima è

\text{(I)} \qquad f(x) \geq 0

Risolvendo la \text{(I)} fortunatamente ne togliamo ben due dal sistema! In particolare si ha

\frac{|x|-1}{x^2-1} \geq 0


La disequazione è banale perché si vede facilmente che il numeratore ed il denominatore sono negativi nello stesso intervallo (- 1, 1) e positivi nella stessa unione di intervalli (- \infty, - 1) \cup (1, + \infty).
I punti x = \pm 1 sono esclusi perché rendono il denominatore nullo, e questo come ben sai non deve mai accadere. In sostanza troviamo che la prima soluzione è

\text{(I)} \qquad f(x) \geq 0 \implies x \in \mathbb{R} \mbox{ } / \mbox{ } \{-1, 1\}


Adesso passiamo alla seconda equazione e concludiamo così il primo sistema..

\text{(II)} \qquad g(x) < 0


Tale condizione corrisponde ovviamente alla disequazione fratta

\frac{x+2}{|x|+1} < 0

Per risolverla non dobbiamo neanche studiare eccessivamente numeratore e denominatore; quest'ultimo infatti, somma di due numeri sicuramente positivi, non può mai essere minore di zero perciò ci troviamo che tale disequazione vale se e solo se

x < - 2

Infatti è solo il numeratore a poter essere negativo; abbiamo quindi che la soluzione conclusiva del secondo punto è

\text{(II)} \qquad g(x) < 0 \implies x < - 2

Mettendo insieme le soluzioni trovate per il primo sistema si ottiene che

S_1: (- \infty, - 2)

Ed ecco fatto! Passiamo a studiare il secondo sistema ed in particolare la seconda disequazione ( banalmente già risolta.. ).

\text{(III)} \qquad g(x) \geq 0

Come già detto in precedenza sappiamo che il denominatore è sicuramente maggiore di zero perciò dobbiamo imporre che lo sia anche il numeratore; si trova facilmente che

\text{(III)} \qquad g(x) \geq 0 \implies x \geq - 2

Finalmente possiamo passare alla disequazione vera e propria ( dove andiamo ad elevare al quadrato un po' tutto.. ):

\text{(VI)} \qquad f(x) \geq [g(x)]^2

Da questa condizione si ottiene la disequazione

\frac{|x|-1}{x^2-1} \geq  \frac{x^2 + 4 + 4x}{(|x| + 1)^2}

Qui conviene senza alcun dubbio spezzare la disequazione rispetto al modulo; in particolare analizziamo cosa succede quando x è compresa tra il valore minimo ( - 2 ) e 0.

\frac{- x-1}{x^2-1} \geq  \frac{x^2 + 4 + 4x}{(1 - x)^2}

\frac{-(x + 1)}{(x + 1)(x - 1)} \geq  \frac{x^2 + 4 + 4x}{(1 - x)^2}

Portiamo il - del numeratore a denominatore..

\frac{(x + 1)}{(x + 1)(1 - x)} \geq  \frac{x^2 + 4 + 4x}{(1 - x)^2}

Facendo il minimo comune multiplo si ha che

\frac{(x + 1)(1 - x)}{(x + 1)(1 - x)^2} \geq  \frac{(x^2 + 4 + 4x)(x + 1)}{(x + 1)(1 - x)^2}

Qualche calcolo..

\frac{1 - x^2}{(x + 1)(1 - x)^2} \geq  \frac{x^3 + 5x^2 + 8x + 4}{(x + 1)(1 - x)^2}

Portiamo tutto a destra..

0 \geq  \frac{x^3 + 6x^2 + 8x + 3}{(x + 1)(1 - x)^2}

La soluzione di tale disequazione è chiaramente

S: \frac{1}{2} (- 5 - \sqrt{13}) \leq x \leq \frac{1}{2} (- 5 + \sqrt{13})

Messi a condizione con le condizioni di esistenza del modulo è chiaro che il primo termine è molto minore di -2 mentre il secondo è compreso tra 0 e -2 perciò va bene..

S_a: -2 \leq x \leq \frac{1}{2} (- 5 + \sqrt{13})

Ed ecco fatto! Passiamo ora al caso in cui x \geq 0 .. la disequazione diventa

\frac{x-1}{x^2-1} \geq  \frac{x^2 + 4 + 4x}{(x + 1)^2}

\frac{x-1}{(x + 1)(x - 1)} \geq  \frac{x^2 + 4 + 4x}{(x + 1)^2}

Di nuovo col minimo comune multiplo..

\frac{x^2 - 1}{(x + 1)^2(x - 1)} \geq  \frac{(x^2 + 4 + 4x)(x - 1)}{(x - 1)(x + 1)^2}

Da cui..

\frac{x^2 - 1}{(x + 1)^2(x - 1)} \geq  \frac{x^3 + 3x^2 - 4}{(x - 1)(x + 1)^2}

Portiamo tutto a destra

0 \geq  \frac{x^3 + 2x^2 - 3}{(x - 1)(x + 1)^2}

Tale disequazione non è mai vera ( a causa del denominatore x - 1 ) perciò possiamo dire che la soluzione finale del quarto punto è

\text{(VI)} \qquad f(x) \geq [g(x)]^2 \implies -2 \leq x \leq \frac{1}{2} (- 5 + \sqrt{13})

Finito!! Unendo le soluzioni dei due sistemi si ottiene

S: \left(- \infty, \frac{1}{2} (- 5 + \sqrt{13}) \right] \, \Big/ \, \{-1\}

Tutto chiaro emt ?
Ringraziano: Omega, Pi Greco, LittleMar, Ifrit, ild0tt0re

Re: Disequazione radicale fratta con doppio modulo #8862

avt
ild0tt0re
Cerchio
frank094 ti adoro emt
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Os