Equazione trigonometrica con formule di Werner

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Equazione trigonometrica con formule di Werner #863

avt
ely
Cerchio
Mi servirebbe aiuto con un'equazione trigonometrica con seni e coseni: il testo suggerisce di usare le formule di Werner.

Risolvere la seguente equazione goniometrica avvalendosi delle formule di Werner.

\sin(4x)\cos(5x)=\sin(6x)\cos(3x)

Grazie.
 
 

Equazione trigonometrica con formule di Werner #868

avt
frank094
Maestro
L'equazione goniometrica

\sin(4x) \cos(5x) = \sin(6x) \cos(3x)

si può risolvere facilmente con le formule di Werner.

Esse ci dicono infatti che:

\sin(\alpha)\cos(\beta) = \frac{1}{2}[\sin(\alpha + \beta)+\sin(\alpha-\beta)]

Nel nostro caso al primo membro sappiamo che \alpha = 4x\ \ \mbox{e} \ \ \beta = 5x, mentre nel secondo caso che \alpha = 6x\ \ \mbox{e} \ \beta = 3x.

Sostituiamo:

\frac{1}{2}[\sin(9x)+\sin(-x)]=\frac{1}{2}[\sin(9x)+\sin(3x)]

Dividiamo a destra e sinistra per \frac{1}{2}:

\sin(9x)+\sin(-x)=\sin(9x)+\sin(3x)

Chiaramente \sin(9x) si elimina (portando quello da destra a sinistra o viceversa):

\sin(-x)=\sin(3x)

Essa è chiaramente un'equazione goniometrica espressa nella forma normale

\sin(f(x))=\sin(g(x))

che possiamo risolvere ricordando quanto segue:

- due angoli hanno lo stesso seno se differiscono di un numero intero di angoli giro oppure se uno di essi differisce per un numero intero di angoli giro dal supplementare dell'altro, in simboli matematici:

\sin(f(x))=\sin(g(x))

se e solo se

f(x)=g(x)+2k\pi \ \ \vee \ \  f(x)=\pi -g(x)+2k\pi

dove k è libero di variare nell'insieme dei numeri interi.

Questa considerazione consente di scrivere due equazioni nell'incognita x, la prima delle quali è:

-x=3x+2k\pi \ \ \ \to \ \ \ -4x=2k\pi

da cui

x=-\frac{\pi}{2}k \ \ \ \mbox{con} \ k\in\mathbb{Z}

La seconda è invece

-x=\pi -3x+2k\pi \ \ \ \to \ \ \ 2x=\pi+2k\pi

dalla quale ricaviamo la seconda famiglia di soluzioni

x=\frac{\pi}{2}+k\pi

Possiamo concludere che l'equazione

\sin(4x)\cos(5x)=\sin(6x)\cos(3x)

è soddisfatta dalle seguenti famiglie di valori

x=-\frac{\pi}{2}k  \ \ \ ,  \ \ \ x=\frac{\pi}{2}+2k\pi

al variare di k\in\mathbb{Z}.

Osserviamo infine che, aiutandoci con la circonferenza goniometrica, siamo in grado di esprimere le due famiglie in maniera compatta come segue:

x=\frac{k\pi}{2}\ \ \ \mbox{con}  \ k\in\mathbb{Z}

Ecco fatto!
Ringraziano: ely
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Os