Esercizio equazione irrazionale con due radicali

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Esercizio equazione irrazionale con due radicali #86225

avt
Boar96
Punto
Mi è capitata un'equazione irrazionale con due radici che secondo il mio insegnante è immediata e non richiede alcun calcolo. Personalmente penso che bisogna usare qualche stratagemma per raggiungere le eventuali soluzioni.

Determinare le eventuali soluzioni della seguente equazione irrazionale

\sqrt{3x-6}+\sqrt{2x-x^2}=0

Grazie.
 
 

Esercizio equazione irrazionale con due radicali #86228

avt
Galois
Amministratore
Per risolvere l'equazione irrazionale

\sqrt{3x-6}+\sqrt{2x-x^2}=0

non procederemo con il metodo standard perché ci avvarremo di una regola fondamentale la quale ci eviterà sia le condizioni di esistenza, sia le condizioni di concordanza: la somma di due radici con indice pari è nulla se e solo se i due radicandi sono contemporaneamente uguali a zero.

Ricaviamo dunque due equazioni che devono valere contemporaneamente

3x-6=0 \ \ \ , \ \ \ 2x-x^2=0

ed è proprio a causa della contemporaneità che le metteremo a sistema

\begin{cases}3x-6=0 \\ \\ 2x-x^2=0\end{cases}

Risolviamole separatamente partendo dall'equazione di primo grado che conduce alla soluzione x=2, infatti

3x-6=0 \ \ \ \to \ \ \ 3x=6 \ \ \ \to \ \ \ x=2

2x-x^2=0

è invece un'equazione di secondo grado che possiamo risolvere mediante raccoglimento totale: mettiamo in evidenza il fattore comune x ricavando così

x(2-x)=0

Interviene la legge di annullamento del prodotto la quale ci assicura che il prodotto al primo membro è zero se e solo se almeno uno dei fattori che lo compongono è nullo. Passiamo quindi alle due equazioni

x=0 \ \ \ , \  \ \ 2-x=0

la prima delle quali è già risolta, la seconda invece è una semplice equazione di primo grado che ammette come soluzione x=2.

In definitiva, il sistema di equazioni si riscrive come

\begin{cases}x=0 \\ \\ x=0\ \vee \ x=2\end{cases}

dove \vee è il simbolo matematico che individua il connettivo logico "o".

Essendo x=0 l'unico valore comune a entrambe le equazioni che costituiscono il sistema, possiamo concludere che essa è l'unica soluzione dell'equazione irrazionale data.

Abbiamo finito.
Ringraziano: CarFaby, Boar96
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Os