Risoluzione di un'equazione goniometrica con un po' di coseni

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Risoluzione di un'equazione goniometrica con un po' di coseni #859

avt
ely
Cerchio
Ciao ragazzi potreste darmi una mano a risolvere questa equazione goniometrica? È piena di coseni e non so che fare e non so dove mettere le mani. Devo forse usare le formule di prostaferesi?

Calcolare le soluzioni della seguente equazione goniometrica!

\cos(2x)+\cos(3x)+\cos(4x)+\cos(5x)=0

Vi ringrazio.
 
 

Risoluzione di un'equazione goniometrica con un po' di coseni #862

avt
frank094
Maestro
Per ricavare le soluzioni dell'equazione goniometrica

\cos(2x)+\cos(3x)+\cos(4x)+\cos(5x)=0

bisogna avvalersi delle formule di prostaferesi, in particolare la regola relativa alla somma di coseni

\cos(\alpha)+\cos(\beta)=2\cos\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)\cos\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)

dove \alpha \ \mbox{e} \ \beta sono due numeri reali qualsiasi.

Per fare in modo che non compaiano frazioni negli argomenti, applichiamo intelligentemente la precedente formula alla somma:

\\ \cos(4x)+\cos(2x)=2\cos\left(\frac{2x+4x}{2}\right)\cos\left(\frac{4x-2x}{2}\right)= \\ \\ \\ =2\cos(3x)\cos(x)

e alla somma

\\ \cos(5x)+\cos(3x)=2\cos\left(\frac{5x+3x}{2}\right)\cos\left(\frac{5x-3x}{2}\right)= \\ \\ \\ =2\cos\left(4x\right)\cos(x)

Sostituendo le espressioni ottenute, l'equazione data diventa

2\cos(x)\cos(3x)+2\cos(4x)\cos(x)=0

Mettiamo in evidenza il fattore comune 2\cos(x)

2\cos(x)[\cos(3x)+\cos(4x)]=0

e applichiamo nuovamente la formula di prostaferesi alla somma di coseni all'interno delle parentesi quadre.

\\ 2\cos(x)\left[2\cos\left(\frac{3x+4x}{2}\right)\cos\left(\frac{3x-4x}{2}\right)\right]=0 \\ \\ \\ 2\cos(x)\left[2\cos\left(\frac{7x}{2}\right)\cos\left(-\frac{x}{2}\right)\right]=0

da cui, cancellando la coppia di parentesi ormai superflua

4\cos(x)\cos\left(\frac{7x}{2}\right)\cos\left(-\frac{x}{2}\right)=0

Facciamo intervenire la legge di annullamento del prodotto, la quale garantisce che il prodotto al primo membro è nullo se e solo se sussiste almeno una delle equazioni

\\ \cos(x)=0 \\ \\ \\ \cos\left(\frac{7x}{2}\right)=0\\ \\ \\ \cos\left(-\frac{x}{2}\right)=0

Esse sono tutte equazioni goniometriche elementari in coseno, che possiamo risolvere ricordando i valori notevoli della funzione goniometrica: il coseno di un angolo è zero se e solo se l'angolo vale

\frac{\pi}{2}+k\pi \ \ \ \mbox{con} \ k\in\mathbb{Z}

Grazie a questa osservazione dall'equazione

\cos(x)=0

ricaviamo la prima famiglia di soluzioni

x=\frac{\pi}{2}+k\pi\ \ \ \mbox{con} \ k\in\mathbb{Z}

Dalla relazione

\cos\left(\frac{7x}{2}\right)=0

ricaviamo l'equazione di primo grado nell'incognita x

\frac{7x}{2}=\frac{\pi}{2}+k\pi \ \ \ \mbox{con} \ k\in\mathbb{Z}

da cui moltiplicando i due membri per \frac{2}{7} otteniamo

\\ x= \frac{2}{7}\left(\frac{\pi}{2}+k\pi\right) \\ \\ \\ x=\frac{\pi}{7}+\frac{2k\pi}{7}\ \ \ \mbox{con} \ k\in\mathbb{Z}

Infine dalla relazione

\cos\left(-\frac{x}{2}\right)=0

otteniamo l'equazione nell'incognita x

-\frac{x}{2}=\frac{\pi}{2}+k\pi

da cui

x=-\pi-2k\pi

In definitiva, le famiglie di valori che soddisfano l'equazione goniometrica

\cos(2x)+\cos(3x)+\cos(4x)+\cos(5x)=0

sono

\\ x=\frac{\pi}{2}+k\pi \\ \\ \\ x=\frac{\pi}{7}+\frac{2k\pi}{7}\\ \\ \\ x=-\pi-2k\pi

al variare di k nell'insieme dei numeri interi.

Abbiamo terminato!
Ringraziano: Omega, ely
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Os