Risoluzione di un'equazione goniometrica con un po' di coseni

Ciao ragazzi potreste darmi una mano a risolvere questa equazione goniometrica? È piena di coseni e non so che fare e non so dove mettere le mani. Devo forse usare le formule di prostaferesi?

Calcolare le soluzioni della seguente equazione goniometrica!



Vi ringrazio.

Per ricavare le soluzioni dell'equazione goniometrica



bisogna avvalersi delle formule di prostaferesi, in particolare la regola relativa alla somma di coseni



dove sono due numeri reali qualsiasi.

Per fare in modo che non compaiano frazioni negli argomenti, applichiamo intelligentemente la precedente formula alla somma:



e alla somma



Sostituendo le espressioni ottenute, l'equazione data diventa



Mettiamo in evidenza il fattore comune



e applichiamo nuovamente la formula di prostaferesi alla somma di coseni all'interno delle parentesi quadre.



da cui, cancellando la coppia di parentesi ormai superflua



Facciamo intervenire la legge di annullamento del prodotto, la quale garantisce che il prodotto al primo membro è nullo se e solo se sussiste almeno una delle equazioni



Esse sono tutte equazioni goniometriche elementari in coseno, che possiamo risolvere ricordando i valori notevoli della funzione goniometrica: il coseno di un angolo è zero se e solo se l'angolo vale



Grazie a questa osservazione dall'equazione



ricaviamo la prima famiglia di soluzioni



Dalla relazione



ricaviamo l'equazione di primo grado nell'incognita



da cui moltiplicando i due membri per otteniamo



Infine dalla relazione



otteniamo l'equazione nell'incognita



da cui



In definitiva, le famiglie di valori che soddisfano l'equazione goniometrica



sono



al variare di nell'insieme dei numeri interi.

Abbiamo terminato!