Equazione irrazionale fratta con più radici

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Equazione irrazionale fratta con più radici #85824

avt
Nico163
Punto
Durante il compito in classe, il mio insegnante ha proposto un'equazione irrazionale fratta che non sono stato in grado di risolvere per via dell'incredibile mole di calcoli che si porta dietro. Avrei bisogno del vostro aiuto per capire qual è la strategia migliore per risolverla.

Calcolare le soluzioni dell'equazione irrazionale fratta

\frac{1}{\sqrt{1+x}-\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{1+x}+\sqrt{x}}=4

Grazie.
 
 

Equazione irrazionale fratta con più radici #85831

avt
Iusbe
Templare
Prima di calcolare le soluzioni dell'equazione irrazionale

\frac{1}{\sqrt{1+x}-\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{1+x}+\sqrt{x}}=4

è necessario imporre le condizioni di esistenza necessarie. Per prima cosa, osserviamo che vi sono diverse radici quadrate le quali richiedono la non negatività del proprio radicando per esistere: imponiamo quindi le due disequazioni di primo grado

1+x\ge 0 \ \ \ , \ \ \   x\ge 0

Esse rappresentano i vincoli affinché \sqrt{1+x}\ \mbox{e} \ \sqrt{x} non perdano di significato.

Purtroppo vi sono ulteriori condizioni da imporre perché l'incognita compare al denominatore: come in ogni equazione fratta che si rispetti, dobbiamo richiedere che i denominatori che contengono l'incognita siano non nulli, ossia

\\ \sqrt{1+x}-\sqrt{x}\ne 0 \\ \\ \sqrt{1+x}+\sqrt{x}\ne 0

Poiché le condizioni devono valere contemporaneamente, impostiamo il sistema di disequazioni

\begin{cases}1+x\ge 0 \\ x\ge 0 \\ \sqrt{1+x}-\sqrt{x}\ne 0 \\ \sqrt{1+x}+\sqrt{x}\ne 0 \end{cases}

La prima e la seconda sono facilmente risolvibili, le ultime due relazioni richiedono invece qualche semplice passaggio in più.

Per analizzare

\sqrt{1+x}-\sqrt{x}\ne 0

è sufficiente isolare una radice al primo membro

\sqrt{1+x}\ne \sqrt{x}

ed elevare in seguito al quadrato

1+x\ne x \ \ \ \to \ \ \ 1\ne 0

La disuguaglianza è quindi soddisfatta per ogni x per cui le radici abbiano senso.

Per fare in modo che la disuguaglianza

\sqrt{1+x}+\sqrt{x}\ne 0

è sufficiente escludere i valori di x per cui sussiste l'uguaglianza

\sqrt{1+x}+\sqrt{x}=0

Ricordando che la somma di radici con indice pari è nulla se e solo esiste un x per cui sono nulli entrambi i radicandi, ossia deve soddisfare il sistema

\begin{cases}1+x=0 \\ x=0\end{cases}\ \ \ \to \ \ \ \begin{cases}x=-1\\ x=0\end{cases}

il quale è evidentemente impossibile.

Deduciamo quindi che la disequazione

\sqrt{1+x}+\sqrt{x}\ne 0

è verificata a patto che i due addendi non perdano di significato. Il sistema

\begin{cases}1+x\ge 0 \\ x\ge 0 \\ \sqrt{1+x}-\sqrt{x}\ne 0 \\ \sqrt{1+x}+\sqrt{x}\ne 0 \end{cases}

diventa quindi

\begin{cases}x\ge -1 \\ x\ge 0 \\ \forall x \\ \forall x\end{cases}

da cui scopriamo che la condizione di esistenza delle soluzioni è

C.E.: \ x\ge 0

Ora che disponiamo dell'insieme di esistenza possiamo occuparci dell'equazione. Trasportiamo tutti i termini al primo membro

\frac{1}{\sqrt{1+x}-\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{1+x}+\sqrt{x}}-4=0

dopodiché svolgiamo i calcoli per fare in modo che al primo membro ci sia un'unica frazione

\frac{\sqrt{1+x}+\sqrt{x}+\sqrt{1+x}-\sqrt{x}-4(\sqrt{1+x}-\sqrt{x})(\sqrt{1+x}+\sqrt{x})}{(\sqrt{1+x}-\sqrt{x})(\sqrt{1+x}+\sqrt{x})}=0

Moltiplichiamo membro a membro per il denominatore comune ricavando così l'equazione equivalente

\sqrt{1+x}+\sqrt{x}+\sqrt{1+x}-\sqrt{x}-4(\sqrt{1+x}-\sqrt{x})(\sqrt{1+x}+\sqrt{x})=0

Sommiamo tra loro i radicali simili ed eseguiamo la moltiplicazione trattandola con la regola relativa al prodotto di una somma per differenza di due monomi.

2\sqrt{1+x}-4((\sqrt{1+x})^2-(\sqrt{x})^2)=0

da cui

\\ 2\sqrt{1+x}-4(1+x-x)=0\\ \\ 2\sqrt{1+x}-4=0

I numerosi calcoli ci hanno fornito una semplicissima equazione irrazionale che risolviamo isolando il radicale al primo membro

2\sqrt{1+x}=4 \ \ \ \to \ \ \ \sqrt{1+x}=2

Eleviamo al quadrato a sinistra e a destra così da sbarazzarci della radice quadrata

1+x=4

e infine risolviamo l'equazione di primo grado

x=3

Tale valore è soluzione dell'equazione irrazionale perché rispetta la condizioni di esistenza (x\ge 0), dunque possiamo concludere che

\frac{1}{\sqrt{1+x}-\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{1+x}+\sqrt{x}}=4

è soddisfatta per x=3 e il suo insieme soluzione è

S=\{3\}

Abbiamo finito.
Ringraziano: Omega, Pi Greco, Galois, Nico163
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Os