Scomposizione con raccoglimento parziale e somma di cubi

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Scomposizione con raccoglimento parziale e somma di cubi #8566

avt
luciaaa
Cerchio
Ho bisogno del vostro aiuto per scomporre un polinomio in più indeterminate usando la regola relativa alla somma di cubi e altre tecniche di fattorizzazione. Ho tentato più e più volte di risolvere l'esercizio, fallendo ogni volta.

Esprimere il seguente polinomio come prodotto di fattori irriducibili, avvalendosi delle opportune tecniche di scomposizione.

x+2y+x^4y^3+2x^3 y^4

Grazie mille.
 
 

Scomposizione con raccoglimento parziale e somma di cubi #8599

avt
nando
Frattale
Per poter scomporre il polinomio:

x+2y+x^4y^3+2x^3 y^4

avremo bisogno di due tecniche di fattorizzazione: il raccoglimento parziale e il prodotto notevole:

A^3+B^3=(A+B)(A^2-AB+B^2)

che consente di esprimere la somma di due cubi come il prodotto tra la somma delle loro basi e il trinomio formato dal quadrato della prima base, dal quadrato della seconda e dal prodotto delle basi, cambiato di segno.

Dopo aver tracciato la strada che conduce alla soluzione, analizziamo i termini del polinomio

x+2y+x^4y^3+2x^3 y^4=

e raccogliamo parzialmente x tra il primo e il terzo termine e 2y tra il secondo e il quarto:

=x(1+x^3y^3)+2y(1+x^3 y^3)=

È evidente che i due addendi condividono il fattore comune 1+x^3 y^3, per cui mettendolo in evidenza, ricaviamo:

=(1+x^3 y^3)(x+2y)=

Attenzione, non abbiamo ancora terminato! Il fattore 1+x^3 y^3 è infatti la somma tra il cubo di 1 e il cubo di x y, di conseguenza può essere ulteriormente scomposto con il prodotto notevole associato:

=(1+x y)\left(1^2-1\cdot x y+(x y)^2\right)(x+2y)=

Usiamo le proprietà delle potenze per semplificare il secondo fattore della scomposizione

=(1+x y)(1-x y+x^2 y^2)(x+2 y)

e concludiamo l'esercizio, scrivendo la scomposizione richiesta!

x+2y+x^4y^3+2x^3 y^4= (1+x y)(1-x y+x^2 y^2)(x+2y)

Abbiamo terminato.
Ringraziano: luciaaa
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Os