Equazione irrazionale con due radici di indice pari

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Equazione irrazionale con due radici di indice pari #85528

avt
Miguel360
Cerchio
Mi sono capitati degli esercizi sulle equazioni irrazionali in cui compaiono due radici con lo stesso indice. Il mio insegnante ha spiegato il metodo risolutivo però non ci ho capito molto.

Determinare l'insieme delle soluzioni associato alla seguente equazione irrazionale solo dopo aver imposto le opportune condizioni di esistenza.

\sqrt{5-2x}-\sqrt{x+1}=0

Grazie.
 
 

Equazione irrazionale con due radici di indice pari #85566

avt
Omega
Amministratore
Il nostro compito consiste nel risolvere l'equazione irrazionale

\sqrt{5-2x}-\sqrt{x+1}=0

nella quale sono presenti due radici con indici pari. Affinché esse siano ben poste, dobbiamo imporre le opportune condizioni di esistenza: dobbiamo richiedere che i due radicandi siano contemporaneamente maggiori o al più uguali a zero. Impostiamo quindi il sistema di disequazioni

\begin{cases}5-2x\ge 0 \\ \\ x+1\ge 0\end{cases}

Sia la prima che la seconda sono in realtà disequazioni di primo grado che possiamo risolvere isolando l'incognita al primo membro.

Risolviamole separatamente partendo dalla prima

\\ 5-2x\ge 0 \ \ \ \to \ \ \ x\le \frac{5}{2} \\ \\ x+1\ge 0 \ \ \ \to \ \ \ x\ge -1

Le due disequazioni sono contemporaneamente soddisfatte nel momento in cui x è compresa tra -1 e \frac{5}{2}, vale a dire:

C.E.:\ -1\le x\le\frac{5}{2}

Note le condizioni di esistenza, possiamo dedicarci alla risoluzione della equazione irrazionale isolando una delle radici (non importa quale) al primo membro

\sqrt{5-2x}=\sqrt{x+1}

Dal punto di vista teorico, dovremmo imporre anche la condizione di concordanza però in questo caso non è necessaria perché i due membri sono entrambe radici con indice pari e dunque hanno il medesimo segno.

Eleviamo al quadrato i due membri così da sbarazzarci delle radici e ricondurci all'equazione di primo grado

5-2x=x+1

Trasportiamo al primo membro i termini con l'incognita, al secondo quelli senza e sommiamo in seguito i monomi simili

-2x-x=-5+1 \ \ \ \to \ \ \ -3x=-4\ \ \ \to \ \ \ x=\frac{4}{3}

Il valore ottenuto soddisfa il vincolo

-1\le x\le \frac{5}{2}

ecco perché possiamo accettarlo come soluzione dell'equazione irrazionale di partenza.

Riassumendo: l'equazione irrazionale è determinata e ammette come soluzione x=\frac{4}{3} dunque il suo insieme soluzione è

S=\left\{\frac{4}{3}\right\}

Ecco fatto!
Ringraziano: CarFaby
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Os