Equazione irrazionale con uguaglianza tra radici pari

Avrei bisogno del vostro intervento per risolvere un'equazione irrazionale con due radici a indice pari. Il mio problema è che non so come gestire le condizioni di esistenza, che mi servono per capire quali valori sono accettabili e quali no.

Calcolare le soluzioni della seguente equazione irrazionale



Grazie.

Consideriamo l'equazione irrazionale



Iniziamone la risoluzione osservando che sia al primo che al secondo membro sono presenti delle radici quadrate che sono ben definite nel momento in cui i radicandi sono entrambi non negativi.

In buona sostanza, affinché la disequazione abbia senso devono essere soddisfatte contemporaneamente le disequazioni



ossia deve sussistere il sistema di disequazioni



Risolviamo separatamente le due disequazioni partendo dalla prima



Essa è una semplice disequazione di primo grado che si risolve isolando l'incognita al primo membro



Consideriamo a questo punto la disequazione di secondo grado



e determiniamo le soluzioni dell'equazione associata mediante la formula



Scomponendo in fattori primi 180 e semplificando il più possibile il radicale, otteniamo



La positività del coefficiente di , del discriminante e il verso della disequazione permettono di concludere che quest'ultima è soddisfatta per valori esterni, ossia



dove è il connettivo logico che individua la congiunzione "oppure".

Deduciamo quindi che il sistema è soddisfatto per e la condizione di esistenza delle soluzioni è



Una volta determinata la condizione che definisce l'insieme di esistenza delle soluzioni, dovremmo imporre la condizione di concordanza che però risulta ridondante perché in entrambi i membri di



si manifestano radici con indici pari e in quanto tali sono certamente concordi.

Per eliminare le radici, eleviamo al quadrato i due membri



e una volta trasportati al primo membro tutti i termini e sommati i monomi simili, otteniamo l'equazione di secondo grado



Chiamiamo rispettivamente il coefficiente di , quello di e il termine noto



calcoliamo il discriminante associato mediante la formula



e infine esplicitiamo le soluzioni dell'equazione con la relazione



Affinché i valori



siano soluzioni dell'equazione irrazionale, devono soddisfare necessariamente la condizione di esistenza



Dei due solo soddisfa il vincolo pertanto rappresenta l'unica soluzione dell'equazione irrazionale, l'altro valore è da scartare.

In conclusione, l'equazione irrazionale è soddisfatta per , pertanto il suo insieme soluzione è



Ecco fatto!