Equazione irrazionale con uguaglianza tra radici pari

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Equazione irrazionale con uguaglianza tra radici pari #85477

avt
lollo24
Punto
Avrei bisogno del vostro intervento per risolvere un'equazione irrazionale con due radici a indice pari. Il mio problema è che non so come gestire le condizioni di esistenza, che mi servono per capire quali valori sono accettabili e quali no.

Calcolare le soluzioni della seguente equazione irrazionale

\sqrt{3x-2}=\sqrt{x^2+2x-44}

Grazie.
 
 

Equazione irrazionale con uguaglianza tra radici pari #85571

avt
Omega
Amministratore
Consideriamo l'equazione irrazionale

\sqrt{3x-2}=\sqrt{x^2+2x-44}

Iniziamone la risoluzione osservando che sia al primo che al secondo membro sono presenti delle radici quadrate che sono ben definite nel momento in cui i radicandi sono entrambi non negativi.

In buona sostanza, affinché la disequazione abbia senso devono essere soddisfatte contemporaneamente le disequazioni

3x-2\ge 0 \ \ \ , \ \ \  x^2+2x-44\ge 0

ossia deve sussistere il sistema di disequazioni

\begin{cases}3x-2\ge 0\\ \\ x^2+2x-44\ge 0\end{cases}

Risolviamo separatamente le due disequazioni partendo dalla prima

3x-2\ge 0

Essa è una semplice disequazione di primo grado che si risolve isolando l'incognita al primo membro

3x\ge 2 \ \ \ \to \ \ \ x\ge \frac{2}{3}

Consideriamo a questo punto la disequazione di secondo grado

x^2+2x-44\ge 0

e determiniamo le soluzioni dell'equazione associata mediante la formula

x_{1,2}=\frac{-2\pm\sqrt{4-4\cdot 1\cdot (-44)}}{2}=\frac{-2\pm\sqrt{180}}{2}=

Scomponendo in fattori primi 180 e semplificando il più possibile il radicale, otteniamo

=\frac{-2\pm 6\sqrt{5}}{2}=\begin{cases}-1-3\sqrt{5}=x_1 \\ \\ -1+3\sqrt{5}=x_2\end{cases}

La positività del coefficiente di x^2, del discriminante e il verso della disequazione permettono di concludere che quest'ultima è soddisfatta per valori esterni, ossia

x\le -1-3\sqrt{5} \ \ \ \vee \ \ \ x\ge -1+3\sqrt{5}

dove \vee è il connettivo logico che individua la congiunzione "oppure".

Deduciamo quindi che il sistema è soddisfatto per x\ge -1+3\sqrt{5} e la condizione di esistenza delle soluzioni è

C.E.:\ x\ge -1+3\sqrt{5}

Una volta determinata la condizione che definisce l'insieme di esistenza delle soluzioni, dovremmo imporre la condizione di concordanza che però risulta ridondante perché in entrambi i membri di

\sqrt{3x-2}=\sqrt{x^2+2x-44}

si manifestano radici con indici pari e in quanto tali sono certamente concordi.

Per eliminare le radici, eleviamo al quadrato i due membri

3x-2=x^2+2x-44

e una volta trasportati al primo membro tutti i termini e sommati i monomi simili, otteniamo l'equazione di secondo grado

-x^2+x+42=0\ \ \ \to \ \ \ x^2-x-42=0

Chiamiamo a, \ b\ \mbox{e} \ c rispettivamente il coefficiente di x^2, quello di x e il termine noto

a=1 \ \ \ , \ \ \ b=-1 \ \ \ , \ \ \ c=-42

calcoliamo il discriminante associato mediante la formula

\Delta=b^2-4ac=(-1)^2-4\cdot 1 \cdot (-42)=169

e infine esplicitiamo le soluzioni dell'equazione con la relazione

\\ x'_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-(-1)\pm\sqrt{169}}{2}= \\ \\ \\ =\frac{1\pm 13}{2}=\begin{cases}\frac{1-13}{2}=-6=x'_1\\ \\ \frac{1+13}{2}=7=x'_2\end{cases}

Affinché i valori

x'_1=-6\ \ \ , \ \ \ x'_2=7

siano soluzioni dell'equazione irrazionale, devono soddisfare necessariamente la condizione di esistenza

C.E.: \ x\ge -1+3\sqrt{5}

Dei due solo x=7 soddisfa il vincolo pertanto rappresenta l'unica soluzione dell'equazione irrazionale, l'altro valore è da scartare.

In conclusione, l'equazione irrazionale è soddisfatta per x=7, pertanto il suo insieme soluzione è

S=\{7\}

Ecco fatto!
Ringraziano: CarFaby, weMath
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Os