Equazione goniometrica con seno e angolo composto

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Equazione goniometrica con seno e angolo composto #8510

avt
xavier310
Sfera
Dovrei risolvere un'equazione goniometrica con il seno, procedendo per sostituzione. Una volta ricondotta a un'equazione elementare, non riesco più a continuare: penso di dover usare l'arcoseno per esplicitare le soluzioni, però non so come fare.

Determinare i valori di x che soddisfano la seguente equazione goniometrica:

8\sin\left(3x+\frac{\pi}{4}\right)=1

Grazie.
 
 

Equazione goniometrica con seno e angolo composto #8535

avt
Ifrit
Ambasciatore
Il nostro obiettivo consiste nel calcolare le soluzioni dell'equazione goniometrica

8\sin\left(3x+\frac{\pi}{4}\right)=1

Per raggiungerlo, occorre innanzitutto esprimere l'equazione in forma normale: isoliamo il seno al primo membro, dividendo i due membri per 8

\sin\left(3x+\frac{\pi}{4}\right)=\frac{1}{8}

A questo punto poniamo t=3x+\frac{\pi}{4} cosi che l'equazione diventi

\sin(t)=\frac{1}{8}

Poiché \frac{1}{8} non è un valore notevole del seno, dobbiamo interpellare l'arcoseno per esplicitare le soluzioni dell'equazione.

In accordo con la teoria, le soluzioni base, riferite all'intervallo 0\le t<2\pi, sono:

t=\arcsin\left(\frac{1}{8}\right) \ \ \ \mbox{e} \ \ \ t=\pi-\arcsin\left(\frac{1}{8}\right)

Per ricavare tutte le altre, è sufficiente ricordare che il seno è una funzione periodica, di periodo T=2\pi, e scrivere:

t=\arcsin\left(\frac{1}{8}\right)+2k\pi \ \ \ , \ \ \ t=\pi-\arcsin\left(\frac{1}{8}\right)+2k\pi

con k\in\mathbb{Z}.

Attenzione! Non abbiamo ancora finito: dobbiamo ripristinare l'incognita x. Poiché abbiamo posto

t=3x+\frac{\pi}{4}

le relazioni

t=\arcsin\left(\frac{1}{8}\right)+2k\pi \ \ \ , \ \ \ t=\pi-\arcsin\left(\frac{1}{8}\right)+2k\pi

si trasformano in due equazioni di primo grado nell'incognita x: esse sono rispettivamente

3x+\frac{\pi}{4}=\arcsin\left(\frac{1}{8}\right)+2k\pi \ \ \ , \ \ \ 3x+\frac{\pi}{4}=\pi-\arcsin\left(\frac{1}{8}\right)+2k\pi

dove k è un numero intero.

Non ci resta che isolare x al primo membro e scrivere le famiglie di soluzioni. La prima diventa:

\\ 3x+\frac{\pi}{4}=\arcsin\left(\frac{1}{8}\right)+2k\pi\ \ \ \to \ \ \ 3x=\arcsin\left(\frac{1}{8}\right)-\frac{\pi}{4}+2k\pi

da cui dividendo per 3

x=\frac{1}{3}\arcsin\left(\frac{1}{8}\right)-\frac{\pi}{12}+\frac{2k\pi}{3}

La seconda equazione, vale a dire

3x+\frac{\pi}{4}=\pi-\arcsin\left(\frac{1}{8}\right)+2k\pi

si risolve trasportando \frac{\pi}{4} al secondo membro

3x=-\frac{\pi}{4}+\pi-\arcsin\left(\frac{1}{8}\right)+2k\pi \ \ \ \to \ \ \ 3x=\frac{3\pi}{4}-\arcsin\left(\frac{1}{8}\right)+2k\pi

e dividendo a destra e a sinistra per 3

x=\frac{\pi}{4}-\frac{1}{3}\arcsin\left(\frac{1}{8}\right)+\frac{2k\pi}{3}

In definitiva, possiamo affermare che le soluzioni dell'equazione

8\sin\left(3x+\frac{\pi}{4}\right)=1

sono:

\\ x=\frac{1}{3}\arcsin\left(\frac{1}{8}\right)-\frac{\pi}{12}+\frac{2k\pi}{3} \\ \\ \mbox{e} \\ \\ x=\frac{\pi}{4}-\frac{1}{3}\arcsin\left(\frac{1}{8}\right)+\frac{2k\pi}{3}

dove k è un parametro che varia nell'insieme dei numeri interi.

È fatta!
Ringraziano: Pi Greco, xavier310
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Os